Question

[nguyển phương linh]

a, Tìm x,y  nguyên thỏa mãn 3xy -5 = x² + 2y

b, Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì: 3ⁿ⁺² - 2ⁿ⁺² + 3ⁿ - 2ⁿ chia hết cho 10

Answer 1

[Truong_tien_phuong]

a, Ta có: 3xy - 5 = x² + 2y

=> 3xy - x² - 2y = 5

=> y.( 3x - 2 ) = 5 + x.x

=> y = \(\frac{5+x^2}{3x-2}\)

=> \(x^2+5⋮3x-2\)( vì y là số nguyên )

=> \(3x^2+15⋮3x-2\)

\(\Rightarrow x\left(3x-2\right)+15+2x⋮3x-2\)

\(\Rightarrow2x+15⋮3x+2\)

\(\Rightarrow6x+45⋮3x+2\)

\(\Rightarrow2.\left(3x+2\right)+41⋮3x+2\)

\(\Rightarrow41⋮3x+2\)

\(\Rightarrow3x+2\in\left\{-41;-1;1;41\right\}\)

\(\Rightarrow3x\in\left\{-43;-3;-1;39\right\}\)

VÌ 3x chia hết cho 3

\(\Rightarrow3x\in\left\{-3;39\right\}\)

\(\Rightarrow x\in\left\{-1;13\right\}\)

+) với x = -1 => y = -6/5 ( loại )

+) với x = 13 => y = 174/37 ( loại )

Vậy không tìm được ( x ; y ) thỏa mãn bài

b,

Xét \(3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n=3^n.9-2^n.4+3^n-2^n=3^n.\left(9+1\right)-2^n.\left(4+1\right)=3^n.10-2^n.5\)

\(=3^n.10-2^{n-1}.2.5=3^n.10-2^{n-1}.10=10.\left(3^n-2^{n-1}\right)⋮10\)

\(\Rightarrow3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n⋮10\)

Vậy: \(3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n⋮10\)