Giả sử x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện \(xy^2z^2+x^2z+y=3z^2\)
Tìm GTLN P =\(z^4 \over 1+z^4 (x^4+y^4)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 1 2021
1.
Gọi \(d=ƯC\left(2n^2+3n+1;3n+1\right)\)
\(\Rightarrow2n^2+3n+1-\left(3n+1\right)⋮d\)
\(\Rightarrow2n^2⋮d\Rightarrow2n\left(3n+1\right)-3.2n^2⋮d\)
\(\Rightarrow2n⋮d\Rightarrow2\left(3n+1\right)-3.2n⋮d\Rightarrow2⋮d\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}d=1\\d=2\end{matrix}\right.\)
\(d=2\Rightarrow3n+1=2k\Rightarrow n=2m+1\)
\(\Rightarrow n\) lẻ thì A không tối giản
\(\Rightarrow n\) chẵn thì A tối giản
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 1 2021
2.
Giả thiết tương đương:
\(xy^2+\dfrac{x^2}{z}+\dfrac{y}{z^2}=3\)
Đặt \(\left(x;y;\dfrac{1}{z}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow a^2c+b^2a+c^2b=3\)
Ta có: \(9=\left(a^2c+b^2a+c^2b\right)^2\le\left(a^4+b^4+c^4\right)\left(c^2+a^2+b^2\right)\)
\(\Rightarrow9\le\left(a^4+b^4+c^4\right)\sqrt{3\left(a^4+b^4+c^4\right)}\)
\(\Rightarrow3\left(a^4+b^4+c^4\right)^3\ge81\Rightarrow a^4+b^4+c^4\ge3\)
\(\Rightarrow M=\dfrac{1}{a^4+b^4+c^4}\le\dfrac{1}{3}\)
\(M_{max}=\dfrac{1}{3}\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1;1;1\right)\) hay \(\left(x;y;z\right)=\left(1;1;1\right)\)
TA
2 tháng 7 2017
Vì \(x+y+z=2\)
Ta có \(\sqrt{2x+yz}=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}=\sqrt{\left(x^2+xy\right)+\left(xz+yz\right)}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)
\(\le\frac{x+y+x+z}{2}=\frac{2x+y+z}{2}\)
Tương tự \(\sqrt{2y+zx}\le\frac{x+2y+z}{2}\) và \(\sqrt{2z+xy}\le\frac{x+y+2z}{2}\)
Do đó \(P\le\frac{2x+y+z}{2}+\frac{x+2y+z}{2}+\frac{x+y+2z}{2}=\frac{4\left(x+y+z\right)}{2}=\frac{4.2}{2}=4\)
Vậy \(P\le4\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x+y=x+z\\y+x=y+z\\z+x=z+y\end{cases}}\) và x+y+z=2 \(\Leftrightarrow\) \(x=y=z=\frac{2}{3}\)
6 tháng 11 2018
hùi nãy mem nào k sai cho t T_T t buồn
\(VT\ge6\left(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\right)-2\left(xy+yz+zx\right)+2.\frac{9}{4\left(x+y+z\right)}\)
\(=6\left(x+y+z\right)^2-2.\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}=6.\left(\frac{3}{4}\right)^2-2.\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^2}{3}+\frac{9}{2.\frac{3}{4}}\)
\(=\frac{27}{8}-\frac{3}{8}+6=9\)
\(\Rightarrow\)\(VT\ge9\) ( đpcm )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z=\frac{1}{4}\)
Chúc bạn học tốt ~
LB
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
31 tháng 10 2020
Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(x;y;\frac{1}{z}\right)\Rightarrow ab^2+bc^2+ca^2=3\)
\(P=\frac{1}{a^4+b^4+c^4}\)
Ta có:
\(a^4+b^4+b^4+1\ge4ab^2\)
\(b^4+c^4+c^4+1\ge4bc^2\)
\(c^4+a^4+a^4+1\ge4ca^2\)
\(\Rightarrow3\left(a^4+b^4+c^4\right)+3\ge4\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)=12\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4\ge3\)
\(\Rightarrow P\le1\)
T
12 tháng 12 2018
\(A=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\).Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz,ta có:
\(=\left(1-\frac{1}{x+1}\right)+\left(1-\frac{1}{y+1}\right)+\left(1-\frac{1}{z+1}\right)\)
\(=\left(1+1+1\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
\(\ge3-\frac{9}{\left(x+y+z\right)+\left(1+1+1\right)}=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1/3
Vậy A min = 3/4 khi x=y=z=1/3
Gỉa thiết tương đương với \(xy^2+\frac{x^2}{z}+\frac{y}{z^2}=3\)
Đặt \(a=x;b=y;c=\frac{1}{z}\)khi đó bài toán quy về
\(ab^2+a^2c+c^2b=3\)Tìm GTLN của \(P=\frac{1}{a^4+b^4+c^4}\)
Sử dụng BĐT AM-GM ta có :
\(a^4+b^4+b^4+1\ge4\sqrt[4]{a^4b^4b^4}=4ab^2\)
Bằng cách chứng minh tương tự ta được :
\(b^4+c^4+c^4+1\ge4bc^2\); \(c^4+a^4+a^4+1\ge4ca^2\)
Cộng theo vế các bđt cùng chiều ta được :
\(3\left(a^4+b^4+c^4\right)+3\ge4\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)=4.3=12\)
\(< =>a^4+b^4+c^4+1\ge\frac{12}{3}=4\)
\(< =>a^4+b^4+c^4\ge4-1=3\)
Vậy \(P\le\frac{1}{3}\)Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1< =>x=y=z=1\)