Question

[giúp tôi toán]

Giải HPT: \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x^2+91}=\sqrt{y-2}+y^2\left(1\right)\\\sqrt{y^2+91}=\sqrt{x-2}+x^2\left(2\right)\end{cases}}\)

Where is "Thiên tài" . Help me!!

Answer 1

[tth_new]

ĐKXĐ: \(x\ge2,y\ge2\): Lấy (1) - (2) vế với vế ta được:

\(\sqrt{x^2+91}-\sqrt{y^2+91}=\sqrt{y-2}-\sqrt{x-2}+y^2-x^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2-y^2}{\sqrt{x^2+91}+\sqrt{y^2+91}}=\frac{y-x}{\sqrt{y-2}+\sqrt{x-2}}+\left(y-x\right)\left(y+x\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(\frac{x+y}{\sqrt{x^2+91}+\sqrt{y^2+91}}+\frac{1}{\sqrt{x-2}+\sqrt{y-2}}+x+y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=y\)(trong ngoặc luôn dương và \(x,y\ge2\).

Vậy từ hệ trên, ta có:

\(\sqrt{x^2+91}=\sqrt{x-2}+x^2\Leftrightarrow\sqrt{x^2+91}-10=\sqrt{x-2}-1+x^2-9\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2-9}{\sqrt{x^2+91}+10}=\frac{x-3}{\sqrt{x-2}+1}+\left(x-3\right)\left(x+3\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(\left(x+3\right)\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+91}+10}-1\right)-\frac{1}{\sqrt{x-2}+1}\right)=0\Leftrightarrow x=3\)

Vậy .....

  P/s: Pain và Thắng không biết thì đừng chọn sai ok?

Answer 2

[KAl(SO4)2·12H2O]

ĐK: \(x,y\ge2\)

Cộng hai vế ta có:

\(x^2+\sqrt{x-2}+\sqrt{x^2+91}=y^2+\sqrt{y-2}+\sqrt{y^2+91}\)

Xét \(f\left(t\right)=t^2+\sqrt{t-2}+\sqrt{t^2+91}\text{ tren }\left[2;+\infty\right]\text{ thi }f'\left(t\right)=\frac{1}{\sqrt{t^2+91}}+\frac{1}{2\sqrt{t-2}}\)

f(t) đồng biến trên \(\left[2;+\infty\right]\)

Thế x = y vào phương trình (1), nhận xét rằng x ≥ 2

Xét \(g\left(x\right)=\sqrt{x^2+91}-\sqrt{x-2}-x^2\)

\(\Rightarrow g'\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{x^2+91}}-\frac{1}{2\sqrt{x-2}}-2x\le\frac{x}{\sqrt{x^2+91}}-4-\frac{1}{2\sqrt{x-2}}< 1-4-\frac{1}{2\sqrt{x-2}}< 0...\)

Nên g(x) đồng biến trên [2;+∞]. Vậy nếu phương trình g(x) = 0 có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình.
Từ đó suy ra phươn trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (3; 3)