Cho 2 số thực dương x,y thỏa mãn \(\frac{x}{1+x} + \frac{2y}{1+y} = 1\) . Tìm giá trị lớn nhất của xy2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
C
13 tháng 1 2020
\(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\sqrt{1+x^2y^2}\)
\(\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\sqrt{1+x^2y^2}=2\sqrt{\frac{1}{xy}+xy}=2\sqrt{\frac{1}{16xy}+xy+\frac{15}{16xy}}\)
\(\ge2\sqrt{2\sqrt{\frac{1}{16xy}\cdot xy}+\frac{15}{4\left(x+y\right)^2}}=2\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{15}{4}}=\sqrt{17}\)
Dấu "=" xảy ra tai x=y=1/2
16 tháng 6 2019
Ta có \(\left(2x^2+y^2+3\right)\left(2+1+3\right)\ge\left(2x+y+3\right)^2\)
=> \(\frac{1}{\sqrt{2x^2+y^2+3}}\le\frac{\sqrt{6}}{2x+y+3}\)
Mà \(\frac{1}{2x+y+3}=\frac{1}{x+x+y+1+1+1}\le\frac{1}{36}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+3\right)\)
=> \(\frac{1}{\sqrt{2x^2+y^2+3}}\le\frac{\sqrt{6}}{36}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+3\right)\)
Khi đó
\(P\le\frac{\sqrt{6}}{36}\left(\frac{3}{x}+\frac{3}{y}+\frac{3}{z}+9\right)=\frac{\sqrt{6}}{36}.18=\frac{\sqrt{6}}{2}\)
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1
Vậy \(MaxP=\frac{\sqrt{6}}{2}\)khi x=y=z=1
KN
25 tháng 1 2021
Theo giả thiết, ta có: \(\frac{x}{1+x}+\frac{2y}{1+y}=1\Leftrightarrow\frac{2y}{1+y}=1-\frac{x}{1+x}=\frac{1}{x+1}\)\(\Leftrightarrow2y\left(x+1\right)=y+1\Leftrightarrow2xy^2=-y^2+y=-\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\le\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow xy^2\le\frac{1}{8}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 1 2021
\(S=\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{2x}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{1}{2}\left(x+y\right)\)
\(S\ge2\sqrt{\dfrac{x}{4x}}+2\sqrt{\dfrac{2y}{2y}}+\dfrac{1}{2}.3=\dfrac{9}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(1;2\right)\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 10 2021
Bạn cần viết đề bằng công thức toán để được hỗ trợ tốt hơn
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
9 tháng 3 2021
Ta có bất đẳng thức: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) với \(x,y>0\).
Dấu \(=\)xảy ra khi \(x=y\).
Ta có: \(\frac{1}{2x+y+z}=\frac{1}{x+y+x+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)\)
\(\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{16}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\).
Tương tự với hai số hạng còn lại.
Suy ra \(P\le\frac{1}{16}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}\right)+\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{z}\right)\)
\(=\frac{1}{16}\left(\frac{4}{x}+\frac{4}{y}+\frac{4}{z}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{2020}{4}=505\).
Dấu \(=\)xảy ra khi \(x=y=z=\frac{3}{2020}\).
