Question

[Pham Trong Bach]

Hai điểm M và K thứ tự nằm trên cạnh AB và BC của tam giác ABC; hai đoạn thẳng AK và CM cắt nhau tại P. Biết AP = 2PK và CP = 2PM. Chứng minh rằng AK và CM là các trung tuyến của tam giác ABC

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Xét △ PAC và  △ PKM,ta có:

Suy ra: 

Lại có: ∠ (APC) =  ∠ (KPM) (đối đỉnh)

Suy ra:  △ PKM đồng dạng  △ PAC(c.g.c) với tỉ số đồng dạng k = 1/2

Suy ra:  (1)

Vì  △ PKM đồng dạng △ PAC nên  ∠ (PKM) =  ∠ (PAC)

Suy ra: KM //AC (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau)

Trong  △ ABC, ta có: KM // AC

Suy ra:  △ BMK đồng dạng  △ BAC (g.g)

Suy ra:  (2)

Từ 1 và (2) suy ra: 

Vì BM = 1/2 BA nên M là trung điểm AB.

Vì BK = 1/2 BC nên K là trung điểm BC.