Question

[Minh Triều]

Cho a;b;c;d thuộc Q và a+b+c+d=0.CMR:

\(\sqrt{\left(ab-cd\right)\left(bc-ad\right)\left(ca-bd\right)}\in Q\)

Answer 1

[Trần Thị Loan]

a + b + c + d = 0 

=> a = - b - c - d ; b = - a - c - d; c = - a - b - d

+) a = - b- c - d =>  ab = -b² - bc - bd => ab - cd = - b² - bc - bd - cd = -b(b + c) - d(b + c) = -(b +d)(b +c)

+) b = - a - c - d => bc = -ac - c² - cd => bc - ad = -ac - c² - cd - ad = -c(a + c) - d(a+c) = - (c +d)(a+c)

+) c = -a - b - d => ca = -a² - ab - ad => ca - bd = -a² - ab - ad - bd = - (a+b).(a+ d)

=> (ab - cd).(bc - ad).(ca - bd) = - (b +d).(b +c).(c+d)(a+c)(a+b)(a+d) 

Vì a+ b + c + d = 0 => a + d = - (b + c) và b + d = - (a +c); c+d = - (a + b)

=> (ab - cd).(bc - ad).(ca - bd) = (a+ b)². (b +c)². (c +a)²

=> \(\sqrt{\left(ab-cd\right)\left(bc-ad\right)\left(ca-bd\right)}=\sqrt{\left(a+b\right)^2.\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2}=\left|a+b\right|.\left|b+c\right|\left|c+a\right|\)

là số hữu tỉ với a; b; c;d là số hữu tỉ

Answer 2

[Ngô Tấn Đạt]

Tick cho mình tròn 40 với