Question

[Dưa Hấu]

Cho: a;b >0 : c khác 0 và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)

CMR: \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}\)

Answer 1

[Trần Hữu Ngọc Minh]

Ta có \(a>0,b>0,\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0,a+c\ge0,b+c\ge0\)

Do đó \(\frac{1}{c}=-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)< 0\Rightarrow c< 0\)

Ta có \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Leftrightarrow bc+ac+ab=0\)

\(\Rightarrow c^2=c^2+bc+ac+ab\)

\(\Rightarrow c^2=c\left(c+b\right)+a\left(c+b\right)=\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)

\(\Rightarrow-c=\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\Rightarrow2\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}+2c=0\)

\(\Rightarrow a+b=a+c+2\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}+b+c\)

\(\Rightarrow a+b=\left(\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{a+b}=\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}\)(đpcm)

Hoặc cách 2 bạn có thể đi ngược lại giả thuyết.Chúc bạn học tốt.