Question

[Chường Tuti]

Cho đường tròn (O;R) và các tiếp tuyến AB ;AC cắt nhau tại A nằm ngoài đường tròn ( B;C là các tiếp điểm ) . Gọi H là giao điểm của BC và OA

a) CMR: Oa vuông góc với BC và OH.OA=R^2

b) Kẻ đường kính BD của đường tròn (O) và kẻ đường thẳng CK vuuong góc với BD ( K thuộc BD) CMR AO sông song với CD và AC.CD=CK.AO

c) Gọi I là giao điểm của AD và CK . CMR tam giác BIK và tam GIác CHK có diện tích bằng nhau

Answer 1

[Nguyễn Yến Nhi]

a) Ta có OB=OC (cùng là bán kính (O))

AB=AC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau tại A)

→O và A cách đều 2 đầu đoạn thẳng BC

→OA là đường trung trực của BC

→OA \(\perp\) BC

Xét Δ OBA vuông tại B có đường cao BH:

OB²= OH . OA (hệ thức lượng)

mà OB=R (OB là bán kính của (O))

→R² =OH.OA

b)Xét ΔDBC nội tiếp (O) có đường kính BD

→ΔDBC vuộng tại C có cạnh huyền BD

→BC\(\perp\) CD mà OA\(\perp\)BC (cmt)

→OA song song CD

Ta có : AB song song CK (cùng \(\perp\) BD)

Xét ΔOBA vuông tại B

ΔDKC vuông tại K , có

\(\widehat{BOA}\) = \(\widehat{KDC}\) ( 2 góc đồng vị của OA song song CD)

→ΔOBA đồng dạng ΔDKC (g.n)

→\(\frac{OB}{DK}\) =\(\frac{OA}{DC}\) =\(\frac{BA}{KC}\) (tỉ số đồng dạng)

→OA . CK=AB. CD

mà AB=AC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau tại A)

→AC . CD= CK . OA (đpcm)