Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;1;1), B(0;1;2), C(–2;1;4) và mặt phẳng(P): x – y + z + 2 = 0. Tìm điểm N
∈
(P) sao cho
S
=
2
N
A
2
+
N
B
2
+
N
C
2
đạt giá trị nhỏ nhất. A.
N
-
2
;
0
;
1
B.
N
-
4
3
;
2
;
4
3
C.
...
Đọc tiếp
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;1;1), B(0;1;2), C(–2;1;4) và mặt phẳng(P): x – y + z + 2 = 0. Tìm điểm N ∈ (P) sao cho S = 2 N A 2 + N B 2 + N C 2 đạt giá trị nhỏ nhất.
A. N - 2 ; 0 ; 1
B. N - 4 3 ; 2 ; 4 3
C. N - 1 2 ; 5 4 ; 3 4
D. N - 1 ; 2 ; 1
Đáp án D
Phương pháp giải: Xét đẳng thức vectơ, đưa về hình chiếu của điểm trên mặt phẳng
Lời giải:
Gọi M(a;b;c) thỏa mãn đẳng thức vectơ 2 M A → + M B → + M C → = 0 →
Khi đó S = 2 N A 2 + N B 2 + N C 2 = 2 N A 2 → + N B 2 → + N C 2 → = 2 M N → + M A → 2 + M N → + M B → 2 + M N → + M C → 2
= 4 M N 2 + 2 N M → 2 M A → + M B → + M C → + 2 M A 2 → + M B 2 → + M C 2 →
= 4 M N 2 + 2 M A 2 → + M B 2 → + M C 2 →
Suy ra Smin ó MNmin ó N là hình chiếu của M trên(P) => MN ⊥ (P)
Phương trình đường thẳng MN là
Mà m ∈ mp(P) suy ra t–(1–t)+t+2+2=0 ó t = –1 => N(–1;2;1)