Question

[Dương Phương Linh]

Cho x>0; y>0 và x+y=1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B=(\(1-\frac{1}{x^2}\))(\(1-\frac{1}{y^2}\))

thanks!

Answer 1

[Ngu Ngu Ngu]

Đơn giản biểu thức ta được:

\(B=\left(1-\frac{1}{x^2}\right)\left(1-\frac{1}{y^2}\right)=\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right).\left(1-\frac{1}{x}\right)\left(1-\frac{1}{y}\right)\)

\(=\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right).\frac{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}{xy}\)

\(=\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right).\frac{\left(-x\right).\left(-y\right)}{xy}=\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)\)

\(=1+\frac{1}{xy}+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=1+\frac{1}{xy}+\frac{x+y}{xy}\)

\(=1+\frac{1}{xy}+\frac{1}{xy}=1+\frac{2}{xy}\)

Ta bắt đầu tìm \(MIN:\)

Áp dụng BĐT \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow P\ge1+2\div\frac{1}{4}=9\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left(1-\frac{1}{x^2}\right)\left(1-\frac{1}{y^2}\right)=9\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Vậy \(MIN_B=9\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\) 

Answer 2

[Ngu Ngu Ngu]

Tìm \(MAX\) cho bạn luôn:

Ta đặt: \(x=\sin^2\alpha;y=\cos^2\alpha\left(ĐK:a\ne\frac{\pi}{4}+k\pi\right)\)

Ta có: \(B=\left(1-\frac{1}{\sin^4\alpha}\right)\left(1-\frac{1}{\cos^4\alpha}\right)\)

\(=\frac{\left(\sin^2\alpha-1\right)\left(\sin^2\alpha+1\right)\left(\cos^2\alpha-1\right)\left(\cos^2\alpha+1\right)}{\sin^4\alpha.\cos^4\alpha}\)

\(=\frac{\left(\sin^2\alpha.\cos^2\alpha\right)\left(\sin^2\alpha+1\right)\left(\cos^2\alpha+1\right)}{\sin^4\alpha.\cos^4a}\)

\(=\frac{\sin^2\alpha.\cos^2\alpha+2}{\sin^2\alpha.\cos^2\alpha}=1+\frac{2}{\sin^2\alpha.\cos^2\alpha}=1+\frac{8}{\sin^22\alpha}\)

Để  \(B_{max}\Leftrightarrow\sin^22a\) nhỏ nhất \(\Rightarrow\cos^22\alpha\) tiến lên 1

\(\Rightarrow\alpha\) tiến đến 0 hoặc \(\pi\Rightarrow x\) hoặc \(y\) tiến đến 0

Vậy không tìm được \(B_{max}\)