Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có \(\left(2n\right)^2=4n^2>4n^2-1=\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(2n\right)^2}< \frac{1}{\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)}\)
\(P_n^2=\frac{1^23^25^2...\left(2n-1\right)^2}{2^24^26^2...2n^2}< \frac{1^23^25^2...\left(2n-1\right)^2}{1.3.3.5.5.7...\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)}\)
\(P^2< \frac{1^23^25^2...\left(2n-1\right)^2}{1.3^2.5^2...\left(2n-1\right)^2\left(2n+1\right)}=\frac{1}{2n+1}\)
\(\Rightarrow P< \frac{1}{\sqrt{2n+1}}\)
Lời giải:
Ta có:
\(P=\frac{1-2^2}{2^2}.\frac{1-3^2}{3^2}.\frac{1-4^2}{4^2}...\frac{1-100^2}{100^2}=-\frac{(2^2-1)(3^2-1)(4^2-1)...(100^2-1)}{2^2.3^2.4^2....100^2}\)
\(=-\frac{(2-1)(2+1)(3-1)(3+1)(4-1)(4+1)....(100-1)(100+1)}{(2.3.4..100)(2.3.4...100)}\)
\(=-\frac{[(2-1)(3-1)....(100-1)][(2+1)(3+1)....(100+1)]}{(2.3....100)(2.3.4....100)}\)
\(=-\frac{(1.2.3...99)(3.4.5...101)}{(2.3....100)(2.3....100)}=-\frac{1.2.3...99}{2.3.4..100}.\frac{3.4.5....101}{2.3.4..100}\)
\(=-\frac{1}{100}.\frac{101}{2}=\frac{-101}{200}<\frac{-100}{200}\)
Hay $P<\frac{-1}{2}$
Lời giải:
Ta có:
\(P=\frac{1-2^2}{2^2}.\frac{1-3^2}{3^2}.\frac{1-4^2}{4^2}...\frac{1-100^2}{100^2}=-\frac{(2^2-1)(3^2-1)(4^2-1)...(100^2-1)}{2^2.3^2.4^2....100^2}\)
\(=-\frac{(2-1)(2+1)(3-1)(3+1)(4-1)(4+1)....(100-1)(100+1)}{(2.3.4..100)(2.3.4...100)}\)
\(=-\frac{[(2-1)(3-1)....(100-1)][(2+1)(3+1)....(100+1)]}{(2.3....100)(2.3.4....100)}\)
\(=-\frac{(1.2.3...99)(3.4.5...101)}{(2.3....100)(2.3....100)}=-\frac{1.2.3...99}{2.3.4..100}.\frac{3.4.5....101}{2.3.4..100}\)
\(=-\frac{1}{100}.\frac{101}{2}=\frac{-101}{200}<\frac{-100}{200}\)
Hay $P<\frac{-1}{2}$
\(2^2+4^2+...+\left(2n\right)^2=2^2\left(1^2+2^2+...+n^2\right)\)
\(=\frac{2^2.n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}=\frac{2n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{3}\)
\(\Rightarrow\) Sai, nhưng số 1 và số 4 khi viết trên bảng rất giống nhau, bạn có chắc mình ko nhìn nhầm và chép nhầm đề ko?
\(1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n\left(n+1\right)}\)
Do \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n\left(n+1\right)}>0\) nên \(1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n\left(n+1\right)}>1\) (đúng)
Lại nghi ngờ bạn chép nhầm đề, ko ai cho đề bài kiểu này cả, hoặc là vế phải là số 2, hoặc vế trái bạn thừa số 1 đầu tiên