Question

[Phạm Nguyễn Bảo Trâm]

Cho tam giác ABC có AB<AC. Qua trung điểm D của BC, vẽ đường thẳng vuông góc với đường phân giác của góc BAC, nó cắt đường thẳng AB taị E  và  cắt AC tại F.Qua B vẽ tia Bx song song với AC, Bx cắt EF tại M.

a) Các tam giác AEF và BEM là những tam giác gì? Vì sao?

b)So sánh BE và CF.

c)  Đường trung trực của cạnh BC cắt tia phân giác của góc BAC tại O. CM tam giác OCF=tam giác OBE

Answer 1

[Nguyễn Huy Khánh Tùng]

a)-Gọi chân đường thẳng vuông góc kẻ từ trung điểm D tới phân gác góc BAC là G

=>AG vuông góc với DG => AG vuông góc với EF

-Xét tam giác AFE có AG vừa là phân giác vừa là đường cao => tam giác AFE là tam giác cân và cân tại A(đpcm)

=>góc AFE = góc AEF 

-BM //AC => AFE = BME (đồng vị) => BME = AEF => tam giác BME là tam giác cân và cân tại B(đpcm)

b) Xét tam giác CFD và tam giác MBD:

+) FDC = MDB (đối đỉnh)

+) CD=BD (D là trung điểm BC)

+) FCD = DBM ( so le trong - BM //AC)

=> tam giác CFD = tam giác MBD

=> CF = BM ( hai cạnh tương ứng)

- tam giác BME cân tại B (cmt) => BM=BE

=> CF=BE

c)-DO là đường trung trực của cạnh BC => BO=CO

-tam giác AFE cân tại A => AG vừa là đường cao vừa là đường trung trực từ đỉnh tới cạnh đáy FE. O nằm trên FE => FO=EO

-Xét tam giác OCF và tam giác OBE:

+) BO=CO (cmt)

+) FO=EO (cmt)

+) CF=BE (cmt)

=> tam giác OCF=tam giác OBE (đpcm)

Answer 2

[vu huu an]

Gọi H là giao điểm của CF vs AB, K là trung điểm AH =&gt; DK&#x2F;&#x2F;GH =&gt; KH&#x2F;BH = DG&#x2F;BG (1) 
Mặt khác dễ thấy tg BCH cân tại B =&gt; BH = CB và theo tính chất phân giác ta có: 
AE&#x2F;CE = AB&#x2F;CB = (AH + BH)&#x2F;BH = AH&#x2F;BH + 1 &lt;=&gt; AH&#x2F;BH = AE&#x2F;CE - 1 = (AE - CE)&#x2F;CE = ((AD + DE) - (CD - DE))&#x2F;CE = 2DE&#x2F;CE (vì AD = CD) 
&lt;=&gt; 2KH&#x2F;BH = 2DE&#x2F;CE &lt;=&gt; KH&#x2F;BH = DE&#x2F;CE (2) 
Từ (1) và (2) =&gt; DE&#x2F;CE = DG&#x2F;BG =&gt; EG&#x2F;&#x2F;BC mà DF&#x2F;&#x2F;AB (do D; F là trung điểm của AC;CH) =&gt; DF đi qua trung điểm của BC =&gt; DF đi qua trung điểm EG (Ta lét(