Bài này mình gặp rất nhiều khó khăn khi biến đổi, và vì biểu thức quá dài nên mình phải dùng ký hiệu \(\Sigma_{sym}\), có thể sẽ gặp phải những sai sót-> sai cả bài, do đó bài làm bên dưới chỉ nêu hướng làm thôi (quy đồng).

Nhân hai vế của BĐT cho \(2\left(ab+bc+ca\right)\left(a^2+bc\right)\left(b^2+ca\right)\left(c^2+ab\right)\) BĐT cần chứng minh tương đương:

\(\Leftrightarrow\)\(3\Sigma_{sym}a^3b^3c+\Sigma_{sym}ab^4c^2\ge3\Sigma_{sym}a^5bc+\Sigma_{sym}a^4b^3\)

\(\Leftrightarrow3\Sigma_{sym}\left(a^3b^3c-ab^5c\right)+\Sigma_{sym}b^4c^2a\ge\Sigma_{sym}a^4b^3\)

Do \(3\Sigma_{sym}\left(a^3b^3c-ab^5c\right)\ge0\) theo định lí Muirhead.

Do đó ta sẽ chứng minh: \(\Sigma_{sym}b^4c^2a\ge\Sigma_{sym}a^4b^3\). Và chịu:(

Không mất tính tổng quát, ta giả sử c là số nhỏ nhất.

Đặt \(f\left(a;b;c\right)=VP-VT\) và \(t=\frac{a+b}{2}\)

Trước hết ta chứng minh \(f\left(a;b;c\right)\ge f\left(t;t;c\right)\).

Xét hiệu hai vế và nó tương đương ta thấy nó \(\ge0\) do giả sử:

Vậy ta chỉ cần chứng minh \(f\left(t;t;c\right)\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(c-t\right)^2\left(3c^2+3ct+2t^2\right)}{2t\left(c+t\right)\left(2c+t\right)\left(c^2+t^2\right)}\ge0\) (đúng)

Vậy ta có đpcm.

P/s: Lần sau cho đề đẹp đẹp tí, kiểu này quy đồng mà không có máy tính thì cực chetme:(

\(pt\Leftrightarrow x^3-x^2-\sqrt{x^3-x^2}-2=0\)

Đặt \(t=\sqrt{x^3-x^2}\left(t\ge0\right)\)

\(\Rightarrow t^2-t-2=0\)

\(\Rightarrow\left(t+1\right)\left(t-2\right)=0\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}t=-1\left(l\right)\\t=2\left(tm\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow x^3-x^2=4\Rightarrow x^3-x^2-4=0\Rightarrow x=2\)

a.\(DK:x\ge1\)

\(\Leftrightarrow\left(x\sqrt{x-1}-x\right)-\left(x^3-2x^2\right)-\left(x^2-2x\right)-\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x\left(x-2\right)}{\sqrt{x-1}+1}-x^2\left(x-2\right)-x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(\frac{x}{\sqrt{x-1}+1}-x^2-x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2\\\frac{x}{\sqrt{x-1}+1}-x^2-x-1=0\end{cases}}\)

Xet PT thu (2) ta co:

\(\frac{x-x^2\sqrt{x-1}-x^2-x\sqrt{x-1}-x-\sqrt{x-1}-1}{\sqrt{x-1}+1}=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(\sqrt{x-1}+1\right)+\sqrt{x-1}\left(x+1\right)+1=0\)

Vi ve trai lon hon khong nen PT thu 2 vo nghiem

Vay nghiem cua PT la \(x=2\)

ĐK: \(x\ge2009\)

Khi đó :

\(C=x-2009-2.\sqrt{x-2009}.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+2009\)

\(=\left(\sqrt{x-2009}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(2009-\frac{1}{4}\right)\)

\(=\left(\sqrt{x-2009}-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{8035}{4}\ge\frac{8035}{4}\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\sqrt{x-2009}-\frac{1}{2}=0\)

<=> \(x-2009=\frac{1}{4}\)

<=> \(x=2009+\frac{1}{4}=\frac{8037}{4}\)( tm).

Vật min C = 8035/4 đạt tại x = 8037/4 .

ĐK: \(x\ge2009\)

Xét a > 0. Ta có:

\(C=x-\frac{1}{2\sqrt{a}}.2\sqrt{a\left(x-2009\right)}\ge\frac{2\sqrt{a}.x-a-x+2009}{2\sqrt{a}}\)(cô si xong rồi quy đồng)

\(=\frac{\left(2\sqrt{a}-1\right)x-a+2009}{2\sqrt{a}}\). Ta tìm a sao cho \(2\sqrt{a}-1=0\Leftrightarrow a=\frac{1}{4}\)

Giờ thay ngược cái a vào bên trên là ra:D

P/s: Is that true?

Câu hỏi của kudo shinichi - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Nguyễn Linh Chi cách đó em biết rồi ạ, nhưng em muốn tìm một cách khác, dạng như tìm k sao cho \(A\ge k\left(3x+4y\right)^2\)

Ta có:

 \(\frac{a^2+b^2}{\left|a-b\right|}=\frac{\left(a-b\right)^2+2ab}{\left|a-b\right|}=\frac{\left|a-b\right|^2+12}{\left|a-b\right|}=\left|a-b\right|+\frac{12}{\left|a-b\right|}\ge2\sqrt{12}=4\sqrt{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}ab=6\\\left|a-b\right|=\frac{12}{\left|a-b\right|}\end{cases}}\) Em tự tìm a và b nhé!

bạn làm hộ mk BĐT này được ko ạ 

1) CHO a,b,c là các số thực dương thỏa abc=1.Chứng minh

\(\frac{1}{\sqrt{1+8a}}+\frac{1}{\sqrt{1+8b}}+\frac{1}{\sqrt{1+8c}}>=1\)

Ta có:  \(\Delta=\) \(\left(m-2\right)^2+4.8>0\)

=> Phương trình luôn có hai nghiệm \(x_1;x_2\)phân biệt.

Áp dụng định lí Viet ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-m+2\\x_1.x_2=-8\end{cases}}\)=> \(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=\left(-m+2\right)^2+16\)

Khi đó: \(Q=\left(x_1^2-1\right)\left(x_2^2-1\right)=x_1^2.x_2^2-\left(x_1^2+x_2^2\right)+1=8^2-\left(m-2\right)^2-16+1\)

\(=-\left(m-2\right)^2+49\le49\)

Vậy min Q = 49 tại m=2