Bài tập tự luận: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số SVIP

Hướng dẫn giải:

TXĐ: $\mathbb{R}$.

$y' = 3x^2 - 3$.

Tiếp tuyến $d$ song song với $Ox$ nếu hệ số góc bằng $0$ nên ta có phương trình $0 = 3x^2 - 3$ $\Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x=-1$.

Hướng dẫn giải:

$y' = -x^2-4x-3.$

Tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm có hoành độ $x_0$ bất kì trên $(C)$ là $y'(x_0) = -x_0^2-4x_0-3 = 1-(x_0+2)^2\le 1, \forall x$.

Vậy tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất là $k = 1.$

Hướng dẫn giải:

Gọi $N(x_0;y_0)$ là tiếp điểm của tiếp tuyến đã cho.

Phương trình tiếp tuyến $d$ có dạng: $y = (4x_0^3+2x_0)(x-x_0)+x_0^4+x_0^2+1$.

$M \in d$ nên $3 = (4x_0^3+2x_0)(-1-x_0)+x_0^4+x_0^2+1 \Leftrightarrow 3x_0^4+4x_0^3+x_0^2+2x_0+2=0$

$\Leftrightarrow (x_0+1)^2(3x_0^2-2x_0+2) = 0 \Leftrightarrow x_0 = -1 \Rightarrow y_0 = 3$ và $y'(x_0)=-6$.

Phương trình tiếp tuyến là $y = -6x-3.$

Hướng dẫn giải:

Ta có $y(-1)=2$ và $y' = \dfrac{-4}{(x-1)^2}\Rightarrow y'(-1) = -1.$

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $A(-1;-2)$ là: $y = -(x+1) - 2 = -x-3$.

Hướng dẫn giải:

$y' = \dfrac{-1}{(2x+3)^2}$.

Đường thẳng $y = ax+b$ là tiếp tuyến của đường cong $(C)$ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

$\left\{\begin{aligned} &\dfrac{x+2}{2x+3} = ax+b\\ &a = \dfrac{-1}{(2x+3)^2} (1)\\ \end{aligned}\right.$

Mà tiếp tuyến của $(C)$ cắt trục hoành tại $A$, cắt trục tung tại $B$ sao cho $AOB$ là tam giác vuông cân tại $O$ nên $a = -1$ và $b \ne 0 (2).$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $\left[\begin{aligned} &2x+3=1\\ &2x+3=-1\\ \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x = -1\\ &x = -2\\ \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &b = 0 (l)\\ &b = -2 (tm) \end{aligned}\right. \Rightarrow a+b = -3.$

Hướng dẫn giải:

Gọi $M(x_1;y_1)$ và $N(x_2;y_2)$.

Hệ số góc tiếp tuyến tại $M$, $N$ của $(C)$ lần lượt là:\\ $k_1 = y'(x_1) = -3x_1^2 + 6x_1 - 1;$\\ $k_2 = y'(x_2) = -3x_2^2 + 6x_2 - 1.$

Để hai tiếp tuyến song song thì $\left\{\begin{aligned} &k_1 = k_2\\ &x_1 \ne x_2\\ \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &(x_1 - x_2)\left[-3(x_1+x_2)+6\right] = 0\\ &x_1 \ne x_2\\ \end{aligned}\right.$

$ \Leftrightarrow x_1 + x_2 = 2.$

Ta có $y_1 + y_2 = -(x_1+x_2)\left[(x_1+x_2)^2-3x_1x_2\right] + 3\left[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\right] - (x_1 + x_2) + 8.$

Do $x_1 + x_2 = 2$ nên $y_1 +y_2 = -2(4-3x_1x_2) + 3(4-2x_1x_2) + 8 = 10.$

Trung điểm đoạn $MN$ là $I(1;5)$ là điểm cố định cần tìm.