Biết $\widehat{O^1}-\widehat{O^2}=70^{\circ }$

Suy ra $\widehat{O^1}=\widehat{O^2}+70^{\circ }$

Mà $\widehat{O^1}$ và $\widehat{O^2}$ là hai góc kề bù nên $\widehat{O^1}+\widehat{O^2}=180^{\circ }$.

Thay $\widehat{O^1}=\widehat{O^2}+70^{\circ }$ ta được $\widehat{O^2}+\widehat{O^2}+70^{\circ }=180^{\circ }$

Hay $2.\widehat{O^2}=110^{\circ }$

Suy ra $\widehat{O^2}=55^{\circ }$.

Mà hai góc $\widehat{O^2}$ và $\widehat{O^4}$ đối đỉnh nên $\widehat{O^4}=55^{\circ }$

 Biết $\widehat{O^1}+\widehat{O^2}+\widehat{O^3}=325^{\circ }$.

Mà $\widehat{O^1}$ và $\widehat{O^2}$ là hai góc kề bù nên $\widehat{O^1}+\widehat{O^2}=180^{\circ }$.

Suy ra $\widehat{O^3}=325^{\circ }-180^{\circ }=145^{\circ }$.

Mà $\widehat{O^3}$ và $\widehat{O^4}$ là hai góc kề bù nên $\widehat{O^4}=180^{\circ }-145^{\circ }=35^{\circ }$.

 Biết $\widehat{O^1}-\widehat{O^2}=70^{\circ }$

Suy ra $\widehat{O^1}=\widehat{O^2}+70^{\circ }$

Mà $\widehat{O^1}$ và $\widehat{O^2}$ là hai góc kề bù nên $\widehat{O^1}+\widehat{O^2}=180^{\circ }$.

Thay $\widehat{O^1}=\widehat{O^2}+70^{\circ }$ ta được $\widehat{O^2}+\widehat{O^2}+70^{\circ }=180^{\circ }$

Hay $2.\widehat{O^2}=110^{\circ }$

Suy ra $\widehat{O^2}=55^{\circ }$.

Mà hai góc $\widehat{O^2}$ và $\widehat{O^4}$ đối đỉnh nên $\widehat{O^4}=55^{\circ }$

 Biết $\widehat{O^1}+\widehat{O^2}+\widehat{O^3}=325^{\circ }$.

Mà $\widehat{O^1}$ và $\widehat{O^2}$ là hai góc kề bù nên $\widehat{O^1}+\widehat{O^2}=180^{\circ }$.

Suy ra $\widehat{O^3}=325^{\circ }-180^{\circ }=145^{\circ }$.

Mà $\widehat{O^3}$ và $\widehat{O^4}$ là hai góc kề bù nên $\widehat{O^4}=180^{\circ }-145^{\circ }=35^{\circ }$.

1) $\widehat{BAE}=\widehat{EAC}$ (giả thiết). (1)

Vì $AB$ // $EF$ nên $\widehat{BAE}=\widehat{AEF}$ (hai góc so le trong). (2)

Vì $AE$ // $FI$ nên $\widehat{EAC}=\widehat{IFC}$ (hai góc đồng vị). (3)

Vì $AE$ // $FI$ nên $\widehat{AEF}=\widehat{EFI}$ (hai góc so le trong). (4)

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra: $\widehat{BAE}=\widehat{EAC}=\widehat{AEF}=\widehat{IFC}=\widehat{EFI}$.

2) Từ chứng minh trên, ta có: $\widehat{EFI}=\widehat{IFC}$ mà $FI$ là tia nằm giữa hai tia $FE$ và $FC$.

Vậy $FI$ là tia phân giác của $\widehat{EFC}$.

a) $AC$ và $AD$ là hai tia phân giác của hai góc kề bù, nên: $AC\perp AD$.

$BC$ và $BD$ là hai tia phân giác của hai góc kề bù, nên: $BC\perp BD$.

b) Vì $xy$ // $mn\Rightarrow \widehat{yAB}=\widehat{ABm}$ (hai góc so le trong).

Vậy $\widehat{A^3}=\widehat{B^2}$ (cùng bằng $\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}\widehat{yAB}$ và $\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}\widehat{ABm}$).

Suy ra: $AD//BC$.

$xy$ // $mn\Rightarrow \widehat{xAB}=\widehat{ABn}$ (hai góc so le trong).

Vậy $\widehat{A^2}=\widehat{B^3}$ (cùng bằng $\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}\widehat{xAB}$ và $\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}\widehat{ABn}$).

Suy ra: $AC//BD$.

c) $AD$ // $BD$ (theo chứng minh b), $BD\perp BC$ (theo chứng minh a).

Vậy $AD\perp BD$ ($BD$ vuông góc với một trong hai đường song song thì vuông góc với đường còn lại).

Suy ra: $\widehat{ADB}=90^{\circ }$.

Tương tự: $AD$ // $BC$ (theo chứng minh b); $AD\perp AC$ (theo chứng minh a).

Vậy $AC\perp BC$ (như trên).

Suy ra: $\widehat{ACB}=90^{\circ }$.

a) $xy$ // $x^{\prime }{y}^{\prime }$ nên $\widehat{xAB}=\widehat{AB{y}^{\prime }}$ (hai góc so le trong). (1)

${AA}^{\prime }$ là tia phân giác của $\widehat{xAB}$ nên: $\widehat{A^1}=\widehat{A^2}=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}\widehat{xAB}$ (2)

${BB}^{\prime }$ là tia phân giác của $\widehat{{ABy}^{\prime }}$ nên: $\widehat{B^1}=\widehat{B^2}=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}\widehat{AB{y}^{\prime }}$ (3)

Từ (1), (2), (3) ta có: $\widehat{A^2}=\widehat{B^1}$.

Mà hai góc ở vị trí so le trong, nên ${AA}^{\prime }//{BB}^{\prime }$

b) $xy$ // $x^{\prime }{y}^{\prime }$ nên $\widehat{A^1}=\widehat{{AA}^{\prime }B}$ (hai góc so le trong).

${AA}^{\prime }//{BB}^{\prime }$ nên $\widehat{A^1}=\widehat{{AB}^{\prime }B}$ (hai góc đồng vị).

Vậy $\widehat{{AA}^{\prime }B}=\widehat{{AB}^{\prime }B}$.

a) $xy$ // $x^{\prime }{y}^{\prime }$ nên $\widehat{xAB}=\widehat{AB{y}^{\prime }}$ (hai góc so le trong). (1)

${AA}^{\prime }$ là tia phân giác của $\widehat{xAB}$ nên: $\widehat{A^1}=\widehat{A^2}=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}\widehat{xAB}$ (2)

${BB}^{\prime }$ là tia phân giác của $\widehat{{ABy}^{\prime }}$ nên: $\widehat{B^1}=\widehat{B^2}=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}\widehat{AB{y}^{\prime }}$ (3)

Từ (1), (2), (3) ta có: $\widehat{A^2}=\widehat{B^1}$.

Mà hai góc ở vị trí so le trong, nên ${AA}^{\prime }//{BB}^{\prime }$

b) $xy$ // $x^{\prime }{y}^{\prime }$ nên $\widehat{A^1}=\widehat{{AA}^{\prime }B}$ (hai góc so le trong).

${AA}^{\prime }//{BB}^{\prime }$ nên $\widehat{A^1}=\widehat{{AB}^{\prime }B}$ (hai góc đồng vị).

Vậy $\widehat{{AA}^{\prime }B}=\widehat{{AB}^{\prime }B}$.

a) $xy$ // $x^{\prime }{y}^{\prime }$ nên $\widehat{xAB}=\widehat{AB{y}^{\prime }}$ (hai góc so le trong). (1)

${AA}^{\prime }$ là tia phân giác của $\widehat{xAB}$ nên: $\widehat{A^1}=\widehat{A^2}=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}\widehat{xAB}$ (2)

${BB}^{\prime }$ là tia phân giác của $\widehat{{ABy}^{\prime }}$ nên: $\widehat{B^1}=\widehat{B^2}=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}\widehat{AB{y}^{\prime }}$ (3)

Từ (1), (2), (3) ta có: $\widehat{A^2}=\widehat{B^1}$.

Mà hai góc ở vị trí so le trong, nên ${AA}^{\prime }//{BB}^{\prime }$

b) $xy$ // $x^{\prime }{y}^{\prime }$ nên $\widehat{A^1}=\widehat{{AA}^{\prime }B}$ (hai góc so le trong).

${AA}^{\prime }//{BB}^{\prime }$ nên $\widehat{A^1}=\widehat{{AB}^{\prime }B}$ (hai góc đồng vị).

Vậy $\widehat{{AA}^{\prime }B}=\widehat{{AB}^{\prime }B}$.

Theo đề bài:

$\widehat{O^1}=\widehat{O^2}$ ($OE$ là tia phân giác của $\widehat{AOC}).$ (1)

$\widehat{O^3}=\widehat{O^4}$ ($OF$ là tia phân giác của $\widehat{DOB})$. (2)

Mà $\widehat{AOD}=\widehat{COB}$ (hai góc đối đỉnh).

Từ (1), (2), (3), ta có: $\widehat{O^1}+\widehat{O^3}+\widehat{AOD}=\widehat{O^2}+\widehat{O^4}+\widehat{COB}$ (4)

Mà $\left(\widehat{O^1}+\widehat{O^3}+\widehat{AOD}\right)+\left(\widehat{O^2}+\widehat{O^4}+\widehat{COB}\right)=360^{\circ }$. (5)

Do đó $\widehat{O^1}+\widehat{O^3}+\widehat{AOD}=180^{\circ }$.

Từ $(4)$ và $(5)\Rightarrow \widehat{EOF}=180^{\circ }$.

Vậy $E,O,F$ nằm trên một đường thẳng, hay tia $OE$ và tia $OF$ là hai tia đối nhau.

Định lí: "Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau"

Định lí: "Hai góc cùng phụ một góc thứ ba thì bằng nhau".

Hình vẽ:

Giả thiết - Kết luận:

a) Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng sao cho có một cặp góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song.

b) Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.