Cho tam giác nhọn ABC . chứng minh rằng:
a/ \(\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C>2\)
b/\(\cos A+\cos B+\cos C\le\frac{3}{2}\)
c/\(\cot A+\cot B+\cot C\ge\sqrt{3}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
10 tháng 7 2017
Gỉa sử \(\Delta ABC\)cân tại C, kẻ \(CH⊥AB\)
Ta có VT= \(\cos^2A=\frac{AH^2}{AC^2};\cos^2B=\frac{BH^2}{BC^2}\Rightarrow\cos^2A+\cos^2B=\frac{AH^2}{AC^2}+\frac{BH^2}{BC^2}=2.\frac{AH^2}{AC^2}\)do \(\hept{\begin{cases}AH=BH\\AC=BC\end{cases}}\)
\(\sin^2A=\frac{CH^2}{CA^2};\sin^2B=\frac{CH^2}{CB^2}\Rightarrow\sin^2A+\sin^2B=2.\frac{CH^2}{CA^2}\)
\(\Rightarrow\frac{\cos^2A+\cos^2B}{\sin^2A+\sin^2B}=\frac{2.\frac{AH^2}{AC^2}}{2.\frac{CH^2}{AC^2}}=\frac{AH^2}{CH^2}\)
Ta có VP =\(\frac{1}{2}\left(\cot^2A+\cot^2B\right)=\frac{1}{2}.\left(\frac{AH^2}{CH^2}+\frac{BH^2}{CH^2}\right)=\frac{1}{2}\left(2.\frac{AH^2}{CH^2}\right)=\frac{AH^2}{CH^2}\)
Ta thấy VT=VP\(\Rightarrow\)giả sử đúng
Vậy ........
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 6 2020
\(\frac{sinA}{cosA}+\frac{sinB}{cosB}=\frac{2cos\frac{C}{2}}{sin\frac{C}{2}}\Leftrightarrow\frac{sinA.cosB+cosA.sinB}{cosA.cosB}=\frac{2sin\frac{C}{2}.cos\frac{C}{2}}{sin^2\frac{C}{2}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{sin\left(A+B\right)}{cosA.cosB}=\frac{2sinC}{1-cosC}\Leftrightarrow\frac{sinC}{cosA.cosB}=\frac{2sinC}{1-cosC}\)
\(\Leftrightarrow1-cosC=2cosA.cosB=cos\left(A+B\right)+cos\left(A-B\right)\)
\(\Leftrightarrow1-cosC=-cosC+cos\left(A-B\right)\)
\(\Leftrightarrow cos\left(A-B\right)=1\Rightarrow A-B=0\Rightarrow A=B\)
\(\Rightarrow\) Tam giác ABC cân tại C
\(\frac{cos^2A+cos^2B}{sin^2A+sin^2B}=\frac{1}{2}\left(cot^2A+cot^2B\right)\)
\(\Leftrightarrow2cos^2A+2cos^2B=\left(sin^2A+sin^2B\right)\left(cot^2A+cot^2B\right)\)
\(\Leftrightarrow2cos^2A+2cos^2B=cos^2A+cos^2B+sin^2A.cot^2B+sin^2B.cot^2A\)
\(\Leftrightarrow cos^2A+cos^2B=\frac{sin^2A.cos^2B}{sin^2B}+\frac{sin^2B.cos^2A}{sin^2A}\)
\(\Leftrightarrow cos^2A\left(\frac{sin^2B}{sin^2A}-1\right)=cos^2B\left(1-\frac{sin^2A}{sin^2B}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{cos^2A\left(sin^2B-sin^2A\right)}{sin^2A}=\frac{cos^2B\left(sin^2B-sin^2A\right)}{sin^2B}\)
\(\Leftrightarrow cot^2A\left(sin^2B-sin^2A\right)=cot^2B\left(sin^2B-sin^2A\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sin^2B=sin^2A\\cot^2A=cot^2B\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A=B\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
28 tháng 4 2020
Mẫn Li
Câu 4 nếu bạn ko đánh sai thì người ghi đề sai :D, tử số phải là sinb chứ ko phải sina (đã chứng minh bên trên)
Câu 2b sửa lại thì cm dễ thôi:
\(\frac{cos\left(a+b\right).cos\left(a-b\right)}{sin^2a.sin^2b}=\frac{\frac{1}{2}cos2a+\frac{1}{2}cos2b}{sin^2a.sin^2b}=\frac{1-sin^2a-sin^2b}{sin^2a.sin^2b}=\frac{1}{sin^2a.sin^2b}-\frac{1}{sin^2a}-\frac{1}{sin^2b}\)
\(=\left(1+cot^2a\right)\left(1+cot^2b\right)-\left(1+cot^2a\right)-\left(1+cot^2b\right)\)
\(=1+cot^2a+cot^2b+cot^2a.cot^2b-2-cot^2a-cot^2b\)
\(=cot^2a.cot^2b-1\)
(từ đầu bằng thứ nhất ra thứ 2 sử dụng ct nhân đôi \(cos2x=1-2sin^2x\))
ML
28 tháng 4 2020
Rất xin lỗi bạn!
Câu 2b do mình đánh sai dấu phải là \(\frac{cos\left(a+b\right)\times cos\left(a-b\right)}{sin^2a\times sin^2b}=cot^2a\times cot^2b-1\)
Câu 3 mình cũng đánh sai luôn:
\(sin\frac{A}{2}=cos\frac{B}{2}\times cos\frac{C}{2}-sin\frac{C}{2}\times sin\frac{B}{2}\)
Còn câu 4 thì mình ko có đánh sai! Thành thật xin lỗi bạn! Mình sẽ khắc phục sự cố này!
