Câu hỏi của phương nguyễn hoàng

Question

Chứng minh tam giác ABC cân tại C khi và chỉ khi:$\frac{\cos^2A+\cos^2B}{\sin^2A+\sin^2B}=\frac{1}{2}$ (cot2A + cot2B)

Hoàng Thị Lan Hương · Accepted Answer

C A H B Gỉa sử $\Delta ABC$cân tại C, kẻ $CH⊥AB$Ta có VT= $\cos^2A=\frac{AH^2}{AC^2};\cos^2B=\frac{BH^2}{BC^2}\Rightarrow\cos^2A+\cos^2B=\frac{AH^2}{AC^2}+\frac{BH^2}{BC^2}=2.\frac{AH^2}{AC^2}$do $\hept{\begin{cases}AH=BH\AC=BC\end{cases}}$$\sin^2A=\frac{CH^2}{CA^2};\sin^2B=\frac{CH^2}{CB^2}\Rightarrow\sin^2A+\sin^2B=2.\frac{CH^2}{CA^2}$$\Rightarrow\frac{\cos^2A+\cos^2B}{\sin^2A+\sin^2B}=\frac{2.\frac{AH^2}{AC^2}}{2.\frac{CH^2}{AC^2}}=\frac{AH^2}{CH^2}$Ta có VP =$\frac{1}{2}\left(\cot^2A+\cot^2B\right)=\frac{1}{2}.\left(\frac{AH^2}{CH^2}+\frac{BH^2}{CH^2}\right)=\frac{1}{2}\left(2.\frac{AH^2}{CH^2}\right)=\frac{AH^2}{CH^2}$Ta thấy VT=VP$\Rightarrow$giả sử đúng Vậy ........Câu trả lời: C A H B Gỉa sử $\Delta ABC$cân tại C, kẻ $CH⊥AB$Ta có VT= $\cos^2A=\frac{AH^2}{AC^2};\cos^2B=\frac{BH^2}{BC^2}\Rightarrow\cos^2A+\cos^2B=\frac{AH^2}{AC^2}+\frac{BH^2}{BC^2}=2.\frac{AH^2}{AC^2}$do $\hept{\begin{cases}AH=BH\AC=BC\end{cases}}$$\sin^2A=\frac{CH^2}{CA^2};\sin^2B=\frac{CH^2}{CB^2}\Rightarrow\sin^2A+\sin^2B=2.\frac{CH^2}{CA^2}$$\Rightarrow\frac{\cos^2A+\cos^2B}{\sin^2A+\sin^2B}=\frac{2.\frac{AH^2}{AC^2}}{2.\frac{CH^2}{AC^2}}=\frac{AH^2}{CH^2}$Ta có VP =$\frac{1}{2}\left(\cot^2A+\cot^2B\right)=\frac{1}{2}.\left(\frac{AH^2}{CH^2}+\frac{BH^2}{CH^2}\right)=\frac{1}{2}\left(2.\frac{AH^2}{CH^2}\right)=\frac{AH^2}{CH^2}$Ta thấy VT=VP$\Rightarrow$giả sử đúng Vậy ........

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP