Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt: \(5p+1=a^3;a\inℕ^∗\)
=> \(5p=a^3-1\)
<=> \(5p=\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)\)
<=> \(a-1;a^2+a+1\) đều là ước của 5p \(\in\left\{1;5;p;5p\right\}\)
Do: \(a\inℕ^∗\) => \(a-1< a^2+a+1\) Do: p là SNT => \(1< 5p\)
=> Ta thực tế chỉ phải xét 3 trường hợp:
TH1: \(\hept{\begin{cases}a-1=1\\a^2+a+1=5p\end{cases}}\)
=> \(a=2\)
=> \(5p=2^2+2+1=4+2+1=7\)
=> \(p=\frac{7}{5}\) => Loại do p là SNT.
TH2: \(\hept{\begin{cases}a-1=5\\a^2+a+1=p\end{cases}}\)
=> \(a=6\)
=> \(p=6^2+6+1=43\)
THỬ LẠI: \(5p+1=5.43+1=216=6^3\left(tmđk\right)\)
TH3: \(\hept{\begin{cases}a-1=p\\a^2+a+1=5\end{cases}}\)
=> \(a^2+a=4\)
=> Thử \(a=1;a=2\)đều loại. Và \(a>2\) thì \(a^2+a>4\) (LOẠI)
a = 0 cũng loại do a thuộc N*.
Vậy duy nhất có nghiệm \(p=43\) là thỏa mãn điều kiện.
Đặt \(3n+6=x^3,n+1=y^3\)vì \(n\inℕ^∗\)nên \(x>1,y>3\)và x,y nguyên dương
\(\left(3n+6\right)-\left(n+1\right)=x^3-y^3\)
\(\Leftrightarrow2n+5=\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\)(1)
Vì 2n+5 là số nguyên tố nên chỉ có 2 ước là 1 và 2n+5 mà (x-y) và (x2+xy+y2) cũng là 2 ước của 2n-5 nên:
\(\orbr{\begin{cases}x-y=1,x^2+xy+y^2=2n+5\\x^2+xy+y^2=1,x-y=2n+5\end{cases}}\)mà \(x>1,y>3\)nên vế dưới không thể xảy ra.
Vậy \(\hept{\begin{cases}x=y+1\\x^2+xy+y^2=2n+5\end{cases}}\)thay vế trên vào vế dưới\(\Rightarrow\left(y+1\right)^2+y\left(y+1\right)+y^2=2n+5\)
\(\Rightarrow3y^2+3y+1=2n+5\)
Vậy ta xét \(\hept{\begin{cases}3y^2+3y+1=2n+5\\y^3=n+1\Rightarrow2y^3=2n+2\end{cases}}\)trừ 2 biểu thức vế theo vế:
\(\Rightarrow-2y^3+3y^2+3y+1=3\Leftrightarrow\left(y+1\right)\left(y-2\right)\left(1-2y\right)=0\)
Vì nguyên dương nên nhận y=2--->n=7
Giả sử tồn tại số \(p\)thỏa mãn.
Ta đặt \(\frac{p^2-p-2}{2}=a^3\).
- \(p=2\)thỏa mãn.
- \(p>2\)do là số nguyên tố nên \(p\)lẻ.
Ta có: \(\frac{p^2-p-2}{2}=a^3\Leftrightarrow p\left(p-1\right)=2\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)\)suy ra \(p\)là ước của \(a+1\)hoặc \(a^2-a+1\).
+) \(p|a+1\): \(\frac{p^2-p-2}{2}=a^3\)suy ra \(a< p\Rightarrow a+1=p\).
Thế vào cách đặt ban đầu ta được \(\frac{\left(a+1\right)^2-\left(a+1\right)-2}{2}=a^3\Leftrightarrow2a^3-a^2-a+2=0\)
\(\Leftrightarrow a=-1\)không thỏa.
+) \(p|a^2-a+1\): Đặt \(a^2-a+1=kp\)(1).
\(p\left(p-1\right)=2\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)=2\left(a+1\right)kp\)
\(\Rightarrow p-1=2\left(a+1\right)k\Leftrightarrow p=2k\left(a+1\right)+1\)thế vào (1):
\(a^2-a+1=k\left[2k\left(a+1\right)+1\right]\)
\(\Leftrightarrow a^2-\left(2k^2+1\right)a-2k^2-k+1=0\)
\(\Delta=\left(2k^2+1\right)^2-4\left(-2k^2-k+1\right)=4k^4+12k^2+4k-3\).
Ta cần tìm số tự nhiên \(k\)để \(\Delta\)là số chính phương.
Ta có: \(4k^4+12k^2+4k-3>4k^4+8k^2+4=\left(2k^2+2\right)^2\)
\(4k^4+12k^2+4k-3< 4k^4+16k^2+16=\left(2k^2+4\right)^2\)
Theo nguyên lí kẹp suy ra \(4k^4+12k^2+4k-3=\left(2k^2+3\right)^2\)
\(\Leftrightarrow4k-3=9\Leftrightarrow k=3\).
Với \(k=3\): \(a^2-19a-20=0\Rightarrow a=20\Rightarrow p=127\).
Vậy \(p\in\left\{2,127\right\}\).
Đặt n-2= a^3; n-5=b^3 (a,b thuộc Z)
Ta có
\(a^3-b^3=\left(n-2\right)-\left(n-5\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)=3\)
Ta thấy \(a^2+ab+b^2\ge0\)nên
TA CÓ BẢNG :
| a-b | a2+ab+b2 | a | b | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 3 | |||
| 3 | 1 | |||
Đặt 7p + 1 = n^3 (n > 2)
=> 7p = (n - 1)(n^2 + n + 1)
Ta có 2 TH :
TH1 : n - 1 = 7 \(\forall\)n^2 + n +1 = p => n = 8 => p = 73
TH2 : n - 1 = p \(\forall\) n^2 + n + 1 =7 => ....
