Question

[Pham Trong Bach]

Tam giác ABC có hai đường trung tuyến AK và CL cắt nhau tại O. Từ điểm P bất kì trên cạnh AC, vẽ các đường thẳng PE song song với AK, PF song song với CL (E thuộc BC, F thuộc AB).Các trung tuyến AK, CL cắt đoạn thẳng EF theo thứ tự tại M, N. Chứng minh rằng các đoạn thẳng FM, MN, NE bằng nhau

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Gọi Q là giao điểm của PF và AK ,I là giao điểm của PE và CL

Trong △ FPE ta có: PE//AK hay QM //PE

Suy ra:  (định lí ta-lét) (1)

Trong  △ ALO ta có:PF //CL hay FQ //LO

Suy ra: (định lí ta-lét) (2)

Trong  △ ALC ta có: PF // CL

Suy ra:  (định lí ta-lét) (3)

Từ (2) và (3) suy ra: 

Vì LO = 1/3 CL (O giao điểm của hai đường trung tuyến) nên  (4)

Từ (1) và (4) suy ra:  ⇒ FM = 1/3 FE

Trong  △ EPF ta có:PF // CL hay NI // PF

Suy ra:  (định lí ta –lét) (5)

Trong  △ CKO ta có: EI // OK

Suy ra:  (định lí ta –lét) (6)

Trong  △ CKA ta có:PE // AK

Suy ra:  (định lí ta –lét) (7)

Từ (6) và (7) suy ra: 

Vì OK = 1/3 AK (O là giao điểm của hai đường trung tuyến) nên  (8)

Từ (5) và (8) suy ra:  ⇒EN = 1/3 EF

Ta có: MN = EF - (EN + FM) = EF - (1/3 EF + 1/3 EF) = 1/3 EF

Vậy EN = MN = NF