Question

[Kinder]

Mệnh đề sau đây đúng hay sai? Chứng minh rằng mệnh đề này đúng hoặc mệnh đề này sai:

\(sin^2A+sin^2B+sin^2C\le\dfrac{9}{4}\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Không mất tổng quát giả sử $C$ là góc nhọn.

\(\sin ^2A+\sin ^2B+\sin ^2C=\frac{1-\cos 2A}{2}+\frac{1-\cos 2B}{2}+\sin ^2C\)

\(=1+\sin ^2C-\frac{1}{2}(\cos 2A+\cos 2B)=1+\sin ^2C-\cos (A+B)\cos (A-B)\)

\(=1+\sin ^2C-\cos (180^0-C)\cos (A-B)\)

\(=1+\sin ^2C+\cos C\cos (A-B)=2-\cos ^2C+\cos C\cos (A-B)\)

\(\leq 2-\cos ^2C+\cos C\)  với mọi $C$ nhọn

\(=\frac{9}{4}-(\cos C-\frac{1}{2})^2\leq \frac{9}{4}\)

Do đó mệnh đề đã cho đúng.