Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:\(\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+bc}+\dfrac{1}{1+ac}\ge\dfrac{9}{1+1+1+ab+bc+ca}\)(AM-GM)
Lại có:\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow\dfrac{9}{3+ab+bc+ca}\ge\dfrac{9}{3+a^2+b^2+c^2}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)
\(\Rightarrowđpcm\)
Cháu làm cho bác câu 2 thôi,câu 3 THANGDZ làm rồi sợ mất bản quyền lắm:v
Lời giải:
Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức AM-GM và Cauchy-Schwarz ta có:
\(\dfrac{a}{a+2b+3c}+\dfrac{b}{b+2c+3a}+\dfrac{c}{c+2a+3b}\)
\(=\dfrac{a^2}{a^2+2ab+3ac}+\dfrac{b^2}{b^2+2bc+3ab}+\dfrac{c^2}{c^2+2ac+3bc}\)
\(\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+5ab+5bc+5ac}\)
\(=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2+3\left(ab+bc+ac\right)}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2+\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{1}{2}\)
Nhận xét: \(b^3c-cb^3=0;b^2c-cb^2=0.\).Nên phân thức trở thành:
\(\frac{a^3b-ab^3+c^3a-ca^3}{a^2b-ab^2+c^2a-ca^2}=\frac{a^3\left(b-c\right)-a\left(b^3-c^3\right)}{a^2\left(b-c\right)-a\left(b^2-c^2\right)}\)
\(=\frac{a\left(b-c\right)\left\{a^2-\left(b^2-bc+c^2\right)\right\}}{a\left(b-c\right)\left\{a-\left(b+c\right)\right\}}\)
\(=\frac{a^2-\left(b^2-bc+c^2\right)}{a-\left(b+c\right)}=\frac{a^2-\left(b+c\right)^2+3bc}{a-\left(b+c\right)}\)
\(=a+b+c+\frac{3bc}{a-b-c}\).
Đặt \(\hept{\begin{cases}3a+b-c=x\\3b+c-a=y\\3c+a-b=z\end{cases}}\)
Khi đó điều kiện đb tương ứng
\(\left(x+y+z\right)^3=24+x^3+y^3+z^3\)
\(\Leftrightarrow3.\left(x+y\right).\left(x+z\right).\left(x+z\right)=24\)
\(\Rightarrow3.\left(2a+4b\right).\left(2b+4c\right).\left(2c+4a\right)=24\)
\(\Rightarrow\left(a+2b\right).\left(b+2c\right).\left(c+2a\right)=1\)
Do đó ta có đpcm
Chúc bạn học tốt!
ab + ac +b2 +bc= (a+b).(a+c)
ta có:
VP = (a+b).(b+c)= (a+b). b + (a+b).c = ab + b2+ ac + bc = VT
Vậy ab + ac + b2 + bc = (a+b).(b+c)
Dễ thấy với a,b >0 thì (a+b)/2 ≥ √ab <=> 1/(a+b) ≤ 1/4 (1/a +1/b)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được
1/(a+2b+3c)=1/[(a+c)+2(b+c)]≤ 1/4[1/(a+c)+1/2(b+c)] (lại áp dụng tiếp được)
≤ 1/16a+1/16c+1/32b+1/32c
=1/16a+1/32b+3/32c
Trường hợp này dấu "=" xảy ra <=> a+c=2(b+c);a=c;b=c <=> c= 0 mâu thuẩn giả thiết
Do đó dấu "=" không xảy ra
Thế thì 1/(a+2b+3c)<1/16a+1/32b+3/32c (1)
Tương tự 1/( b+2c+3a)<1/16b+1/32c+3/32a (2)
1/ ( c+2a+3b) < 1/16c+1/32a+3/32b (3)
Cộng (1)(2)(3) cho ta
1/( a+2b+3c) + 1/( b+2c+3a) + 1/ ( c+2a+3b) <(1/16+1/32+3/32)(1/a+1/b+1/c)
=3/16*(ab+bc+ca)abc= 3/16
tk nha mk trả lời đầu tiên đó!!!