Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left|a+b\right|\le\left|a\right|+\left|b\right|\) \(\left(1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\left|a+b\right|\right)^2\le\left(\left|a\right|+\left|b\right|\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\le a^2+2\left|ab\right|+b^2\)
\(\Leftrightarrow ab\le\left|ab\right|\) \(\left(2\right)\)
Bất đẳng thức \(\left(2\right)\) đúng \(\Rightarrow\) bất đẳng thức \(\left(1\right)\) đúng
Dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow ab=0\)
1. Ta có: \(a-b+\dfrac{4}{\left(a-b\right)\left(b+1\right)^2}\ge\dfrac{4}{b+1}\)
\(a+\dfrac{4}{\left(a-b\right)\left(b+1\right)^2}\ge\dfrac{4}{b+1}+b\)(1)
lại có: \(\dfrac{4}{b+1}+b+1\ge4\)
\(\dfrac{4}{b+1}+b\ge3\)(2)
Từ (1),(2) ta có:\(a+\dfrac{4}{\left(a-b\right)\left(b+1\right)^2}\ge3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a-b=\dfrac{4}{\left(a-b\right)\left(b+1\right)^2}\\b+1=\dfrac{4}{b+1}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=1\end{matrix}\right.\)
2. Ta có\(\dfrac{2a^3+1}{4b\left(a-b\right)}\ge3\)
\(\Leftrightarrow2a^3+1\ge12ab-12b^2\)
\(\Leftrightarrow2a^3+1-12ab+12b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow2a^3-3a^2+1+3\left(a-2b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(2a+1\right)\left(a-1\right)^2+3\left(a-2b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a-1=0\\a-2b=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
Em học lớp 8 nên không chắc lắm, vì đội tuyển có dạng này rồi nên em giúp chị nhé :
Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số a,b dương ta có :
\(\left(a+b\right)\ge2\cdot\sqrt{ab}\) (1)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\cdot\sqrt{\frac{1}{ab}}\) (2)
Nhân vế với vế của BĐT (1) và (2) ta được :
\(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\right)\ge2\cdot\sqrt{ab}\cdot2\cdot\sqrt{\frac{1}{ab}}=4\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\) (đpcm)
Áp dụng BĐT cosi:
\(\left(2+a+b\right)\left(a+4b+ab\right)\ge3\sqrt[3]{2ab}\cdot3\sqrt[3]{4a^2b^2}=9\sqrt[3]{8a^3b^3}=9\cdot2ab=18ab\)
Dấu \("="\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b=2\\a=4b=ab\end{matrix}\right.\left(\text{vô lí}\right)\)
Vậy dấu \("="\) ko xảy ra hay \(\left(2+a+b\right)\left(a+4b+ab\right)>18ab\)
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
\(a^{10}b^2+b^{10}a^2\ge a^8b^4+b^8a^4\)
\(\Leftrightarrow a^8+b^8\ge a^6b^2+b^6a^2\) (Do \(a^2b^2\ge0\))
\(\Leftrightarrow\left(a^6-b^6\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2\left(a^4+a^2b^2+b^4\right)\ge0\) (luôn đúng).
Vậy ta có đpcm.
