Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a)Giả sử tồn tại số nguyên n sao cho \(n^2+2002\)là số chình phương.
\(\Rightarrow n^2+2002=a^2\left(a\inℕ^∗\right)\)
\(\Rightarrow a^2-n^2=2002\)
\(\Rightarrow a^2+an-an-n^2=2002\)
\(\Rightarrow a\left(a+n\right)-n\left(a+n\right)=2002\)
\(\Rightarrow\left(a-n\right)\left(a+n\right)=2002\)
Mà \(2002⋮2\)\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a-n⋮2\\a+n⋮2\end{cases}\left(1\right)}\)
Ta có : \(\left(a+n\right)-\left(a-n\right)=-2n\)
\(\Rightarrow\)\(a-n\)và \(a+n\)có cùng tính chẵn lẻ \(\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\)và \(\left(2\right)\): \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-n⋮2\\a+n⋮2\end{cases}}\)
Vì 2 là số nguyên tố \(\Rightarrow\left(a-n\right)\left(a+n\right)⋮4\)
mà 2002 không chia hết cho 4
\(\Rightarrow\)Mâu thuẫn
\(\Rightarrow\)Điều giả sử là sai
\(\Rightarrow\)Không tồn tại số nguyên n thỏa mãn đề bài
Tổng của 5 số nguyên dương liên tiếp có dạng: \(\frac{\left(a+a+4\right)\cdot5}{2}=5\left(a+2\right)⋮5\)
(a và a+4 là số đầu và số cuối khi xếp từ bé đến lớn)
Làm tương tự với tổng của 7 số và 9 số
Suy ra số cần tìm chia hết cho 5,7,9
Mà BCNN(5,7,9)=315 nên số cần tìm là 315
Với n nguyên dương.
Đặt A=\(n^{2015}+n+1=\left(n^{2015}-n^2\right)+\left(n^2+n+1\right)=n^2\left(n^{2013}-1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)
\(=n^2\left(\left(n^3\right)^{.671}-1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)
Mà : \(\left(n^3\right)^{.671}-1⋮\left(n^3-1\right)\)
và \(n^3-1=\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)\)
=> \(\left(n^3\right)^{671}-1⋮\left(n^2+n+1\right)\)
=> \(A⋮n^2+n+1\)
Theo bài ra: A là số nguyên tố
=> \(\orbr{\begin{cases}A=n^2+n+1\\n^2+n+1=1\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}n^{2015}=n^2\\n^2+n=0\end{cases}\Leftrightarrow}}\orbr{\begin{cases}n=1\left(tm\right)\\n=0;n=-1\left(loai\right)\end{cases}}\)vì n nguyên dương
Vậy n=1
