Question

[Nguyễn Tiến Tành]

Kí hiệu S(n) là tổng các chữ số của một số nguyên dương n. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho S(n).S(n+1)=87

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

\(S\left(n\right).S\left(n+1\right)=3.29=1.87\)

- Nếu \(S\left(n\right)=1\Rightarrow\) \(n\) có dạng \(100...0\) \(\Rightarrow S\left(n+1\right)=2\ne87\) (loại)

\(\Rightarrow S\left(n\right).S\left(n+1\right)=3.29\)

Gọi \(n\) có dạng \(\overline{a_1a_2...a_k}\) với \(a_i\in N;a_1\ne0\)

- Nếu \(a_k\ne9\Rightarrow S\left(n+1\right)=S\left(n\right)+1\Rightarrow S\left(n\right)\) và \(S\left(n+1\right)\) luôn khác tính chẵn lẻ \(\Rightarrow S\left(n\right).S\left(n+1\right)\) là một số chẵn, mà 87 lẻ \(\Rightarrow\) loại

\(\Rightarrow a_k=9\) \(\Rightarrow S\left(n\right)>S\left(n+1\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}S\left(n\right)=29\\S\left(n+1\right)=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow S\left(n\right)-S\left(n+1\right)=26\)

Giả sử tận cùng bằng \(x\) số 9 \(\Rightarrow n=\overline{A9...9}\) với A có tận cùng khác 9

\(\Rightarrow n+1=\overline{B0...0}\) (x số 0 và \(B=A+1\))

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}S\left(n\right)=S\left(A\right)+9.x\\S\left(n+1\right)=S\left(B\right)=S\left(A+1\right)=S\left(A\right)+1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow S\left(n\right)-S\left(n+1\right)=9x-1=26\Rightarrow9x=27\Rightarrow x=3\)

Vậy \(n=\overline{A999}\Rightarrow S\left(n\right)=S\left(A\right)+27=29\Rightarrow S\left(A\right)=2\)

Mà \(n\) nhỏ nhất khi \(A\) nhỏ nhất, ta có số nhỏ nhất có tổng các chữ số bằng 2 là 2 \(\Rightarrow A=2\)

\(\Rightarrow n=2999\)