Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ĐKXĐ: \(x,y,z\ge0\)
Từ pt đầu tiên, áp dụng BĐT Cauchy: \(1+y\ge2\sqrt{y}\) \(\Rightarrow\sqrt{x}\left(1+y\right)\ge2\sqrt{xy}\)
\(\Rightarrow2y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow\sqrt{y}\ge\sqrt{x}\Rightarrow y\ge x\)
Tương tự ta có \(2z=\sqrt{y}\left(1+z\right)\ge2\sqrt{yz}\Rightarrow z\ge y\)
\(2x=\sqrt{z}\left(1+x\right)\ge2\sqrt{xz}\Rightarrow x\ge z\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y\ge x\\z\ge y\\x\ge z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=z\)
Thay vào pt đầu ta được:
\(\sqrt{x}\left(1+x\right)=2x\Leftrightarrow2x-\sqrt{x}\left(1+x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\left(2\sqrt{x}-1-x\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}=0\\-x+2\sqrt{x}-1=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}=0\\-\left(\sqrt{x}-1\right)^2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y=z=0\\x=y=z=1\end{matrix}\right.\)
Vậy hệ có 2 bộ nghiệm:
\(\left(x,y,z\right)=\left(0,0,0\right);\left(1,1,1\right)\)
Pt đầu chắc là sai đề (chắc chắn), bạn kiểm tra lại
Với pt sau:
Nhận thấy một ẩn bằng 0 thì 2 ẩn còn lại cũng bằng 0, do đó \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;0\right)\) là 1 nghiệm
Với \(x;y;z\ne0\)
Từ pt đầu ta suy ra \(y>0\) , từ đó suy ra \(z>0\) từ pt 2 và hiển nhiên \(x>0\) từ pt 3
Do đó:
\(\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{2x^2}{x^2+1}\le\dfrac{2x^2}{2x}=x\\z=\dfrac{3y^3}{y^4+y^2+1}\le\dfrac{3y^3}{3\sqrt[3]{y^4.y^2.1}}=y\\x=\dfrac{4z^4}{z^6+z^4+z^2+1}\le\dfrac{4z^4}{4\sqrt[4]{z^6z^4z^2}}=z\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y\le x\\z\le y\\x\le z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=z\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=1\)
Vậy nghiệm của hệ là \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;0\right);\left(1;1;1\right)\)
b: =>x^2-y^2-4y-2x-3=0 và x^2+2x+y=0
=>x^2-2x+1-y^2-4y-4=0 và x^2+2x+y=0
=>x=1 và y=-2 và x^2+2x+y=0
=>Hệ vô nghiệm
a: \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}z=2x-5\\y=3-2x+z=3-2x+2x-5=-2\\3x-2\cdot\left(-2\right)+2x-5=14\end{matrix}\right.\)
=>y=-2; 3x+4+2x-5=14; z=2x-5
=>y=-2; x=3; z=2*3-5=1
Do \(2x^2=y\left(x^2+1\right)\Rightarrow y\ge0\), tương tự ta có \(x;y;z\ge0\)
- Nhận thấy \(x=y=z=0\) là 1 nghiệm
- Nếu \(x;y;z>0\)
\(y\left(x^2+1\right)\ge y.2x=2xy\Rightarrow2x^2\ge2xy\Rightarrow x\ge y\)
Tương tự ta có \(y\ge z;z\ge x\Rightarrow x=y=z\)
Thay vào pt đầu ta có
\(2x^2=x\left(x^2+1\right)\Leftrightarrow x\left(x^2-2x+1\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y=z=0\\x=y=z=1\end{matrix}\right.\)
Từ \(x^3+y^3+z^3=-3\)
\(\Leftrightarrow2x^3+2y^3+2z^3=-6\)
\(\Leftrightarrow2x^3+2y^3+2z^3=-3\left(x^2y+y^2z+z^2x\right)-3\left(xy^2+yz^2+zx^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\right)+\left(y^3+3y^2z+3yz^2+z^3\right)+\left(z^3+3z^2x+3zx^2+x^3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3+\left(y+z\right)^3+\left(z+x\right)^3=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y+y+z+z+x=0\\x+y=y+z=z+x\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y+z=0\\x=y=z\end{matrix}\right.\)
Xét TH \(x=y=z\), thay vào pt thứ 3 của hệ, ta có \(3x^3=-3\Leftrightarrow x=-1\) \(\Rightarrow\left(x;y;z\right)=\left(-1;-1;-1\right)\). Thử lại vào 2 pt đầu, ta thấy rõ ràng không thỏa mãn.
Xét TH \(x+y+z=0\), ta sẽ có \(x^3+y^3+z^3=3xyz\) \(\Rightarrow xyz=-1\)
Thay vào pt đầu tiên của hệ, thu được \(x^2y+y^2z+z^2x=-xyz\) \(\Leftrightarrow x^2y+y^2z+z^2x+xyz=0\). Tương tự, ta có \(xy^2+yz^2+zx^2+xyz=0\). Cộng theo vế 2 pt này, ta được \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y=0\\y+z=0\\z+x=0\end{matrix}\right.\). Ta xét TH \(x+y=0\). Do \(x+y+z=0\) nên \(z=0\) và \(x=-y\), không thỏa mãn pt thứ 3. Tương tự với 2 trường hợp còn lại.
Vậy hpt đã cho vô nghiệm.
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x-3y=b-a\\3x-3y=2b+c\\x+y-2z=c\end{matrix}\right.\) (nhân -1 vào 2 vế pt 1 và cộng pt 2, nhân 2 vào 2 vế pt 2 và cộng pt 3)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}0=a+b+c\\x-y=\dfrac{2b+c}{3}\\x+y-2z=c\end{matrix}\right.\)
- Nếu \(a+b+c\ne0\) hệ vô nghiệm
- Nếu \(a+b+c=0\) hệ có vô số nghiệm