Question

[PhamTienDat]

CMR: nếu n+1 và 2n+1 đều là số chính phương thì n chia hết cho 24

Answer 1

[Lê Nguyên Hạo]

Vì 2n+1 là số chính phương lẻ nên 2n + 1 = 1 (mod8) => 2n chia hết cho 8 => n chia hết cho 4

Do đó n+1 cũng là số lẻ, suy ra n + 1 = 1 (mod8) => n chia hết cho 8

Lại có (n + 1) (2n + 1) = 3n + 2

Ta thấy 3n + 2 = 2 (mod3)

Suy ra (n + 1) (2n + 1) = 2 (mod3)

Mà n+1 và 2n+1 là các số chính phương lẻ nên n + 1 = 2n + 1 = 1 (mod3)

Do đó n chia hết cho 3

Answer 2

[hoanganh nguyenthi]

đặt \(\left\{{}\begin{matrix}2n+1=a^2\\3n+1=b^2\end{matrix}\right.\)(\(a,b\in Z\))

\(\Rightarrow a^2+b^2=5n+2\equiv2\left(mod5\right)\)

số chính phương chia 5 chỉ có thể dư 0;1;4 nên \(a^2\equiv1\left(mod5\right);b^2\equiv1\left(mod5\right)\)\(\Rightarrow2n+1\equiv1\left(mod5\right)\Rightarrow n⋮5\)(1)

giờ cần chứng minh \(n⋮8\)

từ cách đặt ta cũng suy ra \(n=b^2-a^2\)

vì số chính phương lẻ chia 8 dư 1 mà 2n+1 lẻ \(\Rightarrow a^2\equiv1\left(mod8\right)\)hay \(2n\equiv0\left(mod8\right)\)\(\Rightarrow n⋮4\) nên n chẵn \(\Rightarrow b^2=3n+1\)cũng là số chính phương lẻ \(\Rightarrow b^2\equiv1\left(mod8\right)\)

do đó \(b^2-a^2\equiv0\left(mod8\right)\)hay \(n⋮8\)(2)

từ (1) và (2) \(\Rightarrow n⋮40\)(vì gcd(5;8)=1)