Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét 3 số tự nhiên liên tiếp \(2005^n,2005^n+1,2005^n+2\) luôn có ít nhất 1 số chia hết cho 3
Mà:\(2005\equiv1\)(mod 3)
\(\Rightarrow2005^n\equiv1^n=1\)(mod 3)
\(\Rightarrow2005^n\) không chia hết cho 3
Nên trong 2 số \(2005^n+1,2005^n+2\) luôn có 1 số chia hết cho 3
\(\Rightarrow\left(2005^n+1\right)\left(2005^n+2\right)⋮3\)
Xét \(n=2k\left(k\in N\right)\)Ta có :
\(\left(2005^n+1\right)\left(2005^n+2\right)=\left(2005^{2k}+1\right)\left(2005^{2k}+2\right)\)
\(=\left(2005^{2k}+1\right)\left(2005^{2k}-1+3\right)\)
Vì \(2005^{2k}-1⋮2004⋮3\) do đó \(\left(2005^n+1\right)\left(2005^n+2\right)⋮3\)
Xét \(n=2k+1\) thì \(2005^n+1=2005^{2k+1}+1⋮2007⋮3\)
Ta có ngay ĐPCM
Ta xét hai trường hợp
Nếu n chia hết cho 2 \(\Rightarrow n=2k\left(k\in n\right)\)
\(\Rightarrow\left(n+3\right)\left(n+6\right)=\left(2k+3\right)\left(2k+6\right)\)
\(=2k.2k+2k.6+3.2k+3.6\)
\(=2k^2+2k.6+2k.3+2.9\)
\(=2\left(k^2+6k+3k+9\right)⋮2\)
Nếu n chia cho 2 dư 1 \(\Rightarrow n=2k+1\)
\(\Rightarrow\left(2k+1+3\right)\left(2k+1+6\right)=\left(2k+4\right)\left(2k+7\right)\)
\(=2k.2k+2k.7+2k.4+4.7\)
\(=2k^2+2k.7+2k.4+2.14=2\left(k^2+7k+4k+14\right)⋮2\)
Vậy \(\left(n+3\right)\left(n+6\right)⋮2\left(n\in N\right)\)
Xét ta có 2 trường hợp :
TH1 : Với k là số chẵn ( 2k với k thuộc N ) ta có :
2k .( 2k+5)
= 4 . k2 + 10 . k
= 2.(2 . k2 + 5k ) [ chia hết cho 2 ]
TH2 : Với k là số lẻ ( 2k + 1 với k thuộc N ) ta có :
( 2k + 1 ) . ( 2k + 1 + 5 )
= 2k . ( 2k + 6 ) + 2k + 6
= 4 k2 + 12k + 2k + 6
= 2 . ( 2 k2 + 6k + k + 3 ) [ chia hết cho 2 ]
1.
Trường hợp 1:
Nếu n=2k
Thì n.(n+5)=2k.(2k+5)
Vì 2k chia hết cho 2 nên tích n.(n+1) chia hết cho 2
Trường hợp 2:
Nếu n=2k+1
Thì n.(n+1)=2k+1(2k+1+1)
=>(2k+1)(2k+2)
Vì 2k+2 chia hết cho 2 nên tích n(n+1) chia hết cho 2
2.
\(n^2+n+1\)
\(n^2+n=n.n+n.1=n.\left(n+1\right)\)
\(\text{Vì :}n.\left(n+1\right)\text{là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên có tận cùng là : 2,6,0}\)
\(\text{Vậy}.n\left(n+1\right)+1\text{sẽ có tận cùng là 3,7,1}\)
Vì tận cùng là 3,7,1 nên A không chia hết cho 2, không chia hết cho 5 (đpcm)
Chúc bạn học tốt!!!
1. TH1 : n là số chẵn.
\(\Rightarrow n⋮2\Rightarrow n\left(n+5\right)⋮2\)
TH2 : n là số lẻ
\(\Rightarrow\left(n+5\right)⋮2\Rightarrow n\left(n+5\right)⋮2\)
Từ đó \(\Rightarrow n\left(n+5\right)⋮2\)với mọi \(n\in N\)
2. a) TH1 : Nếu n là số lẻ \(\Rightarrow n^2\)là số lẻ \(\Rightarrow\left(n^2+2\right)⋮2\)
1 là số lẻ \(\Rightarrow\left(n^2+n+1\right)̸\)không chia hết cho 2 (1)
TH2 : Nếu n là số chẵn \(\Rightarrow n^2\)là số chẵn \(\Rightarrow\left(n^2+2\right)⋮2\)
1 là số lẻ \(\Rightarrow\left(n^2+n+1\right)̸\)không chia hết cho 2 (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow A\)không chia hết cho 2 với mọi \(n\in N\)
b)
Đặt \(A=\left(n+2012^{2013}\right)+\left(n+2013^{2012}\right)\)
\(A=2n+\left(2012^4\right)^{503}.2012+\left(2013^4\right)^{503}\)
\(A=2n+\left(...6\right)+\left(...1\right)\)
Ta có : 2n là số chẵn
\(2012^{2013}\) là số chẵn
\(2013^{2012}\) là số lẻ
\(=>A=2n+2012^{2013}+2013^{2012}\) là số lẻ
Vì A là số lẻ => \(\left(n+2013^{2012}\right);\left(n+2012^{2013}\right)\) sẽ có 1 số chẵn và 1 số lẻ
=> \(\left(n+2012^{2013}\right)\left(n+2013^{2012}\right)\) là số chẵn nên chia hết cho 2 ( đpcm )
Đặt \(A=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)+1\)
\(=\left[n\left(n+3\right)\right]\left[\left(n+1\right)\left(n+2\right)\right]+1\)
\(=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+2n+n+2\right)+1\)
Đặt \(n^2+3=t\)
=> \(A=t\left(t+2\right)+1\)
\(=t^2+2t+1\)
\(=\left(t+1\right)^2\)
=> A là số chính phương
Vậy với mọi số tự nhiên n thì \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)+1\) là số chính phương ( đpcm )
