Question

[Đoàn Quang Kiệt]

Chứng minh rằng ƯCLN(a;b)=1 thì ƯCLN(a;a+b)=1

Answer 1

[tuyett tuyet]

Giả sử UCLN(a;a+b)=c là một số khác 0 và 1

SUy ra:  a chia hết cho c

               a+b chia hết cho c

===) (a+b)-a chia hết cho c hay b chia hết cho c

Vậy a và b có UCLN=c khác 0 và >1 trái với giả thiết UCLN(a,b)=1

Vậy UCLN(a,a+b)=1

Bút danh XXX

Answer 2

[OoO_TNT_OoO]

  (a,b) =1 
1) gọi p là một ước nguyên tố của ab, vì p nguyên tố, (a,b) nguyên tố cùng nhau nên p là ước của a (không là ước của b) hoặc ngược lại 

=> (a + b) không chia hết cho p (có đúng 1số chia hết cho p, số còn lại ko chia hết nên tổng ko chia hết cho p) 

(a+b) và ab ko có ước chung nguyên tố nào => là 2 số nguyên tố cùng nhau tức là UCLN(a+b,ab) = 1 

2) với (a, b) = 1 ta cm (a, a+b) = 1 
gọi d là ước (khác 1) của a => d không là ước của b (do a, b nguyên tố cùng nhau) => a+b không chia hết cho p (p ko là ước của a+b) 

Đăt c = a+b, theo cm trên ta có (a,c) = 1 
ad câu a ta có (a+c) và ac nguyên tố cùng nhau 
<< a+c = a+a+b = 2a+b; ac = a(a+b)>> 
Vậy 2a+b và a(a+b) nguyên tố cùng nhau