Question

[fghj]

Chứng minh nếu a là 1 số nguyên không chia hết cho 5 và không chia hết cho 7 thì \(\left(a^4-1\right)\left(a^4+15a^2+1\right)\)chia hết cho 35

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Đặt biểu thức đã cho là $A$

$\bullet$ Chứng minh $A\vdots 5$

Ta nhớ đến tính chất quen thuộc là: Một số chính phương khi chia cho $5$ có dư là $0,1,4$

Do đó, với $a$ là số nguyên không chia hết cho $5$ thì $a^2$ chia $5$ dư $1$ hoặc $4$

Hay $a^2\equiv \pm 1\pmod 5$

$\Rightarrow a^4\equiv 1\pmod 5\Rightarrow a^4-1\equiv 0\pmod 5$

$\Rightarrow A=(a^4-1)(a^4+15a^2+1)\equiv 0\pmod 5$

Hay $A\vdots 5(*)$

----------------------

Chứng minh $A\vdots 7$

$A=(a^4-1)(a^4+a^2+1)+14a^2(a^4-1)$

$=(a^2+1)(a^6-1)+14a^2(a^4-1)$

Ta nhớ đến tính chất quen thuộc: Một số lập phương khi chia cho $7$ có dư $0,1,6$

Do đó, với $a$ là số không chia hết $7$ thì $a^3$ chia $7$ có thể dư $1,6$

Hay $a^3\equiv \pm 1\pmod 7$

$\Rightarrow a^6\equiv 1\pmod 7\Rightarrow a^6-1\equiv 0\pmod 7$

$\Rightarrow A=(a^2+1)(a^6-1)+14a^2(a^4-1)\equiv 0\pmod 7$

Hay $A\vdots 7(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow A\vdots 35$