Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(f\left(x\right)=25x^2+25y^2+9x^2+16y^2+144-72x-96y+24xy-72\)
\(=34x^2+41y^2-72x-96y+24xy+72\)
\(=34x^2+2\left(12y-36\right)x+41y^2-96y+72\)
\(a=34>0\)
\(\Delta'=\left(12y-36\right)^2-34\left(41y^2-96y+72\right)\)
\(=-1250y^2+2400y-1152=-2\left(25y-24\right)^2\le0;\forall y\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\ge0;\forall x;y\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2\ge3\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\right)=\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{xyz}\Rightarrow x+y+z\ge\dfrac{3}{xyz}\)
\(x+y+z=\dfrac{x+y+z}{3}+\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{3}\ge\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+\dfrac{2}{3}.\dfrac{3}{xyz}\ge\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{9}{x+y+z}\right)+\dfrac{2}{xyz}=\dfrac{3}{x+y+z}+\dfrac{2}{xyz}\left(đpcm\right)\)
\(dấu"="xảy\) \(ra\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Giả sử \(a^2+b^2< 2bc\)
\(b^2+c^2< 2ca\)
\(c^2+a^2< 2ab\)
Ta cộng vế theo vế của các bất đẳng thức trên ta được: \(a^2+b^2+c^2+b^2+c^2+a^2< 2bc+2ca+2ab\)\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+b^2+c^2+a^2-2bc-2ca-2ab< 0\)\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2< 0\)( hiển nhiên vô lý )
Từ đó ta suy ra có ít nhất 1 bất đẳng thức trên là đúng ( đpcm )
\(3x+4y=1\Leftrightarrow y=\dfrac{1-4y}{3}\)
\(\Rightarrow A=x^2+y^2\Leftrightarrow\left(\dfrac{1-4y}{3}\right)^2+y^2=\dfrac{\left(4y-1\right)^2}{9}+y^2=\dfrac{16y^2-8y+1+9y^2}{9}=\dfrac{25y^2-8y+1}{9}=\dfrac{\left(5y\right)^2-2.5y.\dfrac{4}{5}+\left(\dfrac{4}{5}\right)^2+\dfrac{9}{25}}{9}=\dfrac{\left(5y-\dfrac{4}{5}\right)^2+\dfrac{9}{25}}{9}\ge\dfrac{\dfrac{9}{25}}{9}=\dfrac{1}{25}\left(đpcm\right)\)
\(A_{min}=\dfrac{1}{25}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{4}{25}\\x=\dfrac{3}{25}\end{matrix}\right.\)
Áp dụng Bunhiacopski:
\(\left(x^2+y^2\right)\left(3^2+4^2\right)\ge\left(3x+4y\right)^2=1\\ \Leftrightarrow25\left(x^2+y^2\right)\ge1\Leftrightarrow x^2+y^2\ge\dfrac{1}{25}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{3^2}=\dfrac{y^2}{4^2}\Leftrightarrow\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{4}=\dfrac{3x+4y}{9+16}=\dfrac{1}{25}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3}{25}\\y=\dfrac{4}{25}\end{matrix}\right.\)