Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT Cô - si cho 3 số không âm:
\(1+x^3+y^3\ge3\sqrt[3]{1.x^3y^3}=3xy\Rightarrow\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\ge\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{xy}}\)
Tương tự ta có: \(\frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}\ge\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{yz}}\);\(\frac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{zx}\ge\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{zx}}\)
Cộng các vế của các BĐT trên, ta được:
\(\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\)\(+\frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}\)\(+\frac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{zx}\ge\)\(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{xy}}\)\(+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{yz}}\)\(+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{zx}}\)
Tiếp tục áp dụng Cô - si:
\(BĐT\ge3\sqrt[3]{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{xy}}.\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{yz}}.\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{zx}}}=3\sqrt{3}\)
Vậy \(\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\)\(+\frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}\)\(+\frac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{zx}\ge3\sqrt{3}\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow x=y=z=1\))
\(x^3+y^3+1=x^3+y^3+xyz\ge xy\left(x+y\right)+xyz=xy\left(x+y+z\right)\)
Tương tự:
\(y^3+z^3+1\ge yz\left(x+y+z\right);z^3+x^3+1\ge zx\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{\sqrt{xy\left(x+y+z\right)}}{xy}+\frac{\sqrt{yz\left(x+y+z\right)}}{yz}+\frac{\sqrt{zx\left(x+y+z\right)}}{zx}\)
\(=\sqrt{x+y+z}\left(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{zx}}\right)\)
\(\ge\sqrt{3\sqrt[3]{xyz}}\cdot3\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{xy}\cdot\sqrt{yz}\cdot\sqrt{zx}}}=3\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=1\)
VT \(\ge\frac{\sqrt{3\sqrt[3]{x^3.y^3.1}}}{xy}+\frac{\sqrt{3\sqrt[3]{y^3.z^3.1}}}{yz}+\frac{\sqrt{3\sqrt[3]{z^3.x^3.1}}}{zx}\)( cauchy)
= \(\sqrt{\frac{3}{xy}}+\sqrt{\frac{3}{yz}}+\sqrt{\frac{3}{zx}}\)
\(\ge3\sqrt{3}\)( cauchy)
"=" <=> x = y =z.
Bài này dùng \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\) được không nhỉ ??
Em ngại làm lắm cô Chi, cô thử cách này có được không ạ ?
\(xyz+x^3+y^3\ge xy\left(x+y+z\right)\)\(\Rightarrow\sqrt{1+x^3+y^3}\ge\sqrt{xy\left(x+y+z\right)}\)
Các mấy cái kia cũng biến đổi vậy.
Không chắc nx :((
\(\sqrt{x^3+8}=\sqrt{\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)}\le\frac{x^2-x+6}{2}\)
=>\(\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}\ge\frac{2x^2}{x^2-x+6}\)
=>A\(\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2-\left(x+y+z\right)+18}\)
mà \(\left(x+y+z\right)^2\ge3xy+3yz+3zx=9\)
=>\(x+y+z\ge3\)
Xét TS-MS= 2\(4\left(xy+yz+zx\right)+x+y+z-18\ge12+6-18=0\)
=>TS/MS \(\ge1\)
=>A\(\ge1\)
Dấu = khi x=y=z=1
Câu hỏi của phan tuấn anh - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath cái này y hệt, tham khảo đi nếu vẫn chưa làm dc thì nhắn cho mk
Theo bài ra ta có: \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1\Rightarrow x+y+z=xyz\)
Do:\(\sqrt{yz\left(1+x^2\right)}=\sqrt{yz+x^2yz}=\sqrt{yz+x\left(x+y+z\right)}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)
Tương tự: \(\sqrt{xy\left(1+z^2\right)}=\sqrt{\left(z+y\right)\left(x+z\right)}\);
\(\sqrt{zx\left(1+y^2\right)}=\sqrt{\left(z+y\right)\left(x+y\right)}\)
\(A=\sqrt{\frac{x^2}{yz\left(1+x^2\right)}}+\sqrt{\frac{y^2}{zx\left(1+y^2\right)}}+\sqrt{\frac{z^2}{xy\left(1+z^2\right)}}\)
\(A=\sqrt{\frac{x}{x+y}.\frac{x}{x+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+y}.\frac{y}{y+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+z}.\frac{z}{y+z}}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô si \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\), dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)
Ta có \(\sqrt{\frac{x}{x+y}.\frac{x}{x+z}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}\right)\);
\(\sqrt{\frac{y}{x+y}.\frac{y}{y+z}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x+y}+\frac{y}{y+z}\right)\);
\(\sqrt{\frac{z}{x+z}.\frac{z}{y+z}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{z}{x+z}+\frac{z}{y+z}\right)\)
\(A\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}+\frac{y}{y+z}+\frac{y}{y+x}+\frac{z}{y+z}+\frac{z}{x+z}\right)=\frac{3}{2}\)
Vậy \(A\le\frac{3}{2}\). Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{3}\)
M giải thích cho t chỗ sao mà \(\sqrt{xy\left(1+z^2\right)}=\sqrt{\left(z+y\right)\left(x+z\right)}\) đc vậy?
Với cả từ dòng này xuống dòng này nữa.
Sao mà tin đc dấu " = " xảy ra khi nào vậy?
\(A=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\ge\frac{2}{x+1}+\frac{2}{y+1}+\frac{2}{z+1}\ge\frac{18}{x+y+z+3}=3\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\ge\frac{\sqrt{3\sqrt[3]{x^3y^3}}}{xy}=\frac{\sqrt{3xy}}{xy}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{xy}}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta có:
\(\frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}\ge\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{yz}};\frac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{xz}\ge\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{xz}}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(M\ge\sqrt{3}\left(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\right)=\sqrt{3}\cdot\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{xyz}}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{xyz}}+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{xyz}}\right)\)
\(=\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{xyz}}\ge\sqrt{3}\cdot\frac{3\sqrt[3]{\sqrt{xyz}}}{1}=3\sqrt{3}\)
Khi \(x=y=z=1\)