Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Ta có:
\(x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2-x^3-y^3-z^3>0\)
\(\Leftrightarrow x^2(y+z-x)+y^2(x+z-y)+z^2(x+y-z)>0(*)\)
Do $x,y,z$ là độ dài ba cạnh tam giác nên:
\(\left\{\begin{matrix} x+y>z\\ y+z>x\\ z+x>y\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x+y-z>0\\ y+z-x>0\\ z+x-y>0\end{matrix}\right.\)
Do đó BĐT $(*)$ luôn đúng nên ta có đpcm.
Áp dụng holder ta có:
\(\left(1+1+1\right)\left(x^2y+y^2z+z^2x\right)\left(xy^2+yz^2+zx^2\right)\)
\(\ge\left(\sqrt[3]{x^4yz}+\sqrt{y^4zx}+\sqrt{z^4xy}\right)^3=xyz\left(x+y+z\right)^3\)
Dạo này bận lắm nên cũng lười luôn nên thông cảm.
Bài này làm được theo 1 cách khác nhưng phải áp dụng 2 lần bđt
lần 1 dùng bđt Schur
lần 2 dùng AM-GM
\(\Leftrightarrow\sqrt{4x^2+4xy+8y^2}+\sqrt{4y^2+4yz+8z^2}+\sqrt{4z^2+4zx+8x^2}\ge4\left(x+y+z\right)\)
Ta có:
\(VT=\sqrt{\left(2x+y\right)^2+\left(\sqrt{7}y\right)^2}+\sqrt{\left(2y+z\right)^2+\left(\sqrt{7}z\right)^2}+\sqrt{\left(2z+x\right)^2+\left(\sqrt{7}x\right)^2}\)
\(VT\ge\sqrt{\left(2x+y+2y+z+2z+x\right)^2+\left(\sqrt{7}x+\sqrt{7}y+\sqrt{7}z\right)^2}\)
\(VT\ge\sqrt{16\left(x+y+z\right)^2}=4\left(x+y+z\right)\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
BĐT Mincopxki:
\(\sqrt{x^2+a^2}+\sqrt{y^2+b^2}+\sqrt{z^2+c^2}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(a+b+c\right)^2}\)
Ta có:
x2y + y2z + z2x + zx2 + yz2 + xy2 - x3 - y3 - z3 > 0
\(\Leftrightarrow\)(x2y + zx2 - x3) + (y2z + xy2 - y3) + (z2x + z2y - z3) > 0
\(\Leftrightarrow\)x2(y + z - x) + y2(z + x - y) + z2(x + y - z) > 0 (đúng)
Vì x,y,z là 3 cạnh của tam giác nên tổng 2 cạnh lớn hơn cạnh còng lại.
mk mới học lớp 5 thôi nên ko giúp đc gì, thông cảm nha! chúc cậu học giỏi