Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có :
\(P=\frac{\left(x+y\right)^3}{x^3+y^3}+\frac{\left(x+y\right)^3}{xy}=\frac{x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)}{x^3+y^3}+\frac{x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)}{xy}\)
\(=1+\frac{3xy}{x^3+y^3}+3+\frac{x^3+y^3}{xy}=4+\left(\frac{3xy}{x^3+y^3}+\frac{x^3+y^3}{xy}\right)\ge4+2\sqrt{3}\)
Vậy GTNN của P là \(4+2\sqrt{3}\) khi = \(\frac{3xy}{x^3+y^3}=\frac{x^3+y^3}{xy}\)và x + y = 1
P/s : tự giải dấu "=" nhé. mình lười ghi
Ta có \(P=\frac{1}{\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{1-3xy}+\frac{1}{xy}=\frac{1-2xy}{xy\left(1-3xy\right)}\)
Theo Cosi \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)
Gọi \(P_0\)là một giá trị của P khi đó \(\exists x,y\)để \(P_0=\frac{1-2xy}{xy\left(1-3xy\right)}\Leftrightarrow3P_0\left(xy\right)^2-\left(2+P_0\right)xy+1=0\left(1\right)\)
Để tồn tại x,y thì (1) phải có nghiệm xy \(\Leftrightarrow\Delta=P_0^2-8P_0+4\ge0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}P_0\ge4+2\sqrt{3}\\P_0\le4-2\sqrt{3}\end{cases}}\)
Để ý rằng với giả thiết bài toán thì B>0. Do đó ta có \(P_0\ge4+2\sqrt{3}\)
Với \(P_0=4+2\sqrt{3}\Rightarrow xy=\frac{2+P_0}{6P_0}=\frac{3+\sqrt{3}}{6\left(2+\sqrt{3}\right)}\Rightarrow x\left(1-x\right)=\frac{3+\sqrt{3}}{6\left(2+\sqrt{3}\right)}\)
\(\Leftrightarrow x^2-x+\frac{3+\sqrt{3}}{6\left(2+\sqrt{3}\right)}=0\Leftrightarrow x=\frac{1+\sqrt{\frac{2\sqrt{3}}{3}-1}}{2},x=\frac{1-\sqrt{\frac{2\sqrt{3}}{3}-1}}{2}\)
Vậy \(min_P=4+2\sqrt{3}\)đạt được khi \(\orbr{\begin{cases}x=\frac{1+\sqrt{\frac{2\sqrt{3}}{3}-1}}{2};y=\frac{1-\sqrt{\frac{2\sqrt{3}}{3}-1}}{2}\\x=\frac{1-\sqrt{\frac{2\sqrt{3}}{3}-1}}{2};y=\frac{1+\sqrt{\frac{2\sqrt{3}}{3}-1}}{2}\end{cases}}\)
đặt 2x+3=a
\(y\sqrt{y}+y=a\sqrt{a}+a\)
=>\(\left(\sqrt{y}-\sqrt{a}\right)\left(y+\sqrt{ay}+a+\sqrt{a}+\sqrt{y}\right)=0\)
=>\(\sqrt{y}=\sqrt{a}\Rightarrow y=2x+3\)
thay vào Q tìm min là xong
Thay \(1=\left(x+y\right)^3\)vào biểu thức A ta có :
\(A=\frac{\left(x+y\right)^3}{x^3+y^3}+\frac{\left(x+y\right)^3}{xy}=\frac{x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)}{x^3+y^3}+\frac{x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)}{xy}\)
\(=1+\frac{3xy}{x^3+y^3}+3+\frac{x^3+y^3}{xy}\)
\(=4+\left(\frac{3xy}{x^3+y^3}+\frac{x^3+y^3}{xy}\right)\ge4+2\sqrt{\frac{3xy\left(x^3+y^3\right)}{xy\left(x^3+y^3\right)}}\)\(=4+2\sqrt{3}=\left(\sqrt{3}+1\right)^2\)(chỗ này áp dụng cosi 2 số)
x,y>0 => theo bdt AM-GM thì x+y >/ 2 căn (xy)=2 , x^2+y^2 >/ 2xy=2 (do xy=1)
P=(x+y+1)(x^2+y^2)+4/(x+y)
>/ 2(x+y+1)+4/(x+y)=[(x+y)+4/(x+y)]+(x+y+2)
x,y>0=>x+y>0 => theo bdt AM-GM thì P >/ 2.2+2+2=8
minP=8
\(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\sqrt{1+x^2y^2}\)
\(\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\sqrt{1+x^2y^2}=2\sqrt{\frac{1}{xy}+xy}=2\sqrt{\frac{1}{16xy}+xy+\frac{15}{16xy}}\)
\(\ge2\sqrt{2\sqrt{\frac{1}{16xy}\cdot xy}+\frac{15}{4\left(x+y\right)^2}}=2\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{15}{4}}=\sqrt{17}\)
Dấu "=" xảy ra tai x=y=1/2
Theo đề ta suy ra \(y\le1-3x\)
\(\Rightarrow\sqrt{xy}\le\sqrt{x\left(1-3x\right)}\)
Ta có \(A=\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{xy}}\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{x\left(1-3x\right)}}\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{\frac{x+\left(1-3x\right)}{2}}=\frac{2}{2x}+\frac{2}{-2x+1}\)
\(=2\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{-2x+1}\right)\ge2.\frac{\left(1+1\right)^2}{2x-2x+1}=8\)
Vậy \(A\ge8\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x=1-3x=y\\\frac{1}{2x}=\frac{1}{-2x+1}\\3x+y=1\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(x=y=\frac{1}{4}\)
Ta có: \(x+y=1\Rightarrow\left(x+y\right)^3=1\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)=1\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+3xy=1\)
\(\Rightarrow B=\frac{x^3+y^3+3xy}{x^3+y^3}+\frac{x^3+y^3+3xy}{xy}\)
\(=4+\frac{3xy}{x^3+y^3}+\frac{x^3+y^3}{xy}\)
Áp dụng Bđt Cô-si ta có:
\(\frac{3xy}{x^3+y^3}+\frac{x^3+y^3}{xy}\ge2\sqrt{\frac{3xy}{x^3+y^3}\cdot\frac{x^3+y^3}{xy}}=2\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow B\ge4+2\sqrt{3}\)
Dấu = khi \(\hept{\begin{cases}x+y=1\\x^3+y^3=\sqrt{3xy}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=1\\1-3xy=\sqrt{3xy}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=1\\3\sqrt{xy}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=1\\xy=\frac{6-2\sqrt{5}}{12}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow x^2-x+\frac{6-2\sqrt{5}}{12}=0\)\(\Leftrightarrow x,y=\frac{1\pm\sqrt{\frac{2\sqrt{5}-3}{3}}}{2}\)
Làm sai rồi bạn