G
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
30 tháng 4 2023
Ta có \(x^2+y^2=1\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=2xy+1\)
Từ đó \(P=\dfrac{\left(x+y\right)^2}{x+y+1}\). Đặt \(x+y=t\left(t\ge0\right)\). Vì \(x+y\le\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}=2\) nên \(t\le\sqrt{2}\). ĐTXR \(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\). Ta cần tìm GTLN của \(P\left(t\right)=\dfrac{t^2}{t+1}\) với \(0\le t\le\sqrt{2}\).
Giả sử có \(0\le t_1\le t_2\le\sqrt{2}\). Ta có BDT luôn đúng \(\left(t_2-t_1\right)\left(t_2+t_1+t_2t_1\right)\ge0\) \(\Leftrightarrow t_2^2-t_1^2+t_2^2t_1-t_2t_1^2\ge0\) \(\Leftrightarrow t_1^2\left(t_2+1\right)\le t_2^2\left(t_1+1\right)\) \(\Leftrightarrow\dfrac{t_1^2}{t_1+1}\le\dfrac{t_2^2}{t_2+1}\) \(\Leftrightarrow P\left(t_1\right)\le P\left(t_2\right)\). Như vậy với \(0\le t_1\le t_2\le\sqrt{2}\) thì \(P\left(t_1\right)\le P\left(t_2\right)\). Do đó P là hàm đồng biến. Vậy GTLN của P đạt được khi \(t=\sqrt{2}\) hay \(x=y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\), khi đó \(P=2\sqrt{2}-2\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 4 2023
Lời giải:
$P=\frac{2xy+1}{x+y+1}=\frac{2xy+x^2+y^2}{x+y+1}=\frac{(x+y)^2}{x+y+1}$
$=\frac{a^2}{a+1}$ với $x+y=a$
Áp dụng BĐT AM-GM:
$1=x^2+y^2\geq \frac{(x+y)^2}{2}=\frac{a^2}{2}$
$\Rightarrow a^2\leq 2\Rightarrow a\leq \sqrt{2}$
$P=\frac{a^2}{a+1}=\frac{a}{1+\frac{1}{a}}$
Vì $a\leq \sqrt{2}\Rightarrow 1+\frac{1}{a}\geq 1+\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{2+\sqrt{2}}{2}$
$\Rightarrow P\leq \frac{\sqrt{2}}{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}=-2+2\sqrt{2}$
Vậy $P_{\max}=-2+2\sqrt{2}$ khi $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$
NA
0
XA
2
TT
Thầy Tùng Dương
VIP
20 tháng 9 2018
Ta có (x+y)2 \(\le\) 2(x2+y2)= 2 \(\Rightarrow\)\(-\sqrt{2}\le x+y\le\sqrt{2}\).
Đặt a = x+y; b = x.y, ta được a2 - 2b = 1, ta cần tìm Max, Min của S = xy - 2(x+y) + 4 = b - 2a + 4.
a2 - 2b = 1 \(\Rightarrow\)2b = a2 - 1.
2.S = 2b - 4a + 8 = a2 - 1 - 4a + 8 = a2 - 4a + 7 = (a-2)2 + 3.
Do \(-\sqrt 2\le a\le \sqrt2\) nên \(-\sqrt2-2\le a-2 \le \sqrt 2-2 (<0).\)
Khi bình phương lên thì dấu sẽ thay đổi do các vế đều nhỏ hơn 0.
\((-\sqrt2-2)^2\ge (a-2)^2 \ge (\sqrt 2-2)^2 \Rightarrow (-\sqrt2-2)^2+3\ge (a-2)^2 +3\ge (\sqrt 2-2)^2+3 \Rightarrow (-\sqrt2-2)^2+3\ge 2S\ge (\sqrt 2-2)^2+3\)
NK
1
1 tháng 6 2021
M=x+2y =>x=M-2y
(M-2y)2+2.(M-2y).y+3.y2=6
3.y2-2My+M2-6=0
Pt có nghiệm khi \(\Delta'\ge0\\ M^2-3.\left(M^2-6\right)\ge0\\ -2M^2+18\ge0\\ M^2\le9\\ \)
\(-3\le M\le3\)
O
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
4 tháng 1 2021
Bạn tham khảo lời giải tại đây:
cho \(x,y,z\ge0\) thỏa mãn \(x y z=6\). tìm GTLN và GTNN của biểu thức \(A=x^2 y^2 z^2\) - Hoc24
LH
0
JE
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
2 tháng 3 2019
\(\left(x+y\right)^2+6\left(x+y\right)+9+y^2-3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+3\right)^2+y^2-3=0\Leftrightarrow\left(x+y+3\right)^2=3-y^2\le3\)
\(\Rightarrow\left(x+y+3\right)^2\le3\Rightarrow-\sqrt{3}\le x+y+3\le\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow-3-\sqrt{3}\le x+y\le-3+\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}S_{max}=-3+\sqrt{3}\\S_{min}=-3-\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
2 tháng 3 2019
Từ \(3-y^2\le3\) cho thấy dấu "=" cả 2 trường hợp đều xảy ra tại \(y=0\) còn \(S_{max}\) tại \(x=-3+\sqrt{3};S_{min}\Rightarrow x=-3-\sqrt{3}\)
5 tháng 8 2016
1. \(1=x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow xy\le\frac{1}{2}\)
\(A=-2+\frac{2}{1+xy}\ge-2+\frac{2}{1+\frac{1}{2}}=-\frac{2}{3}\)
max A = -2/3 khi x=y=\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
5 tháng 8 2016
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}=\frac{1}{x}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{1}{x}.\frac{4}{y+z}=\frac{4}{\left(4-t\right)t}=\frac{4}{4-\left(t-2\right)^2}\ge1\) với t = y+z => x =4 -t
