Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
định lý hàm số sin:
a/ \(\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\)2R
=> a = 2R.sinA = 2R.sin[180o - (B+C)] = 2R.sin(B+C)
và b = 2R.sinB; c = 2R.sinC thay vào (*) được:
\(\frac{2R\times sinB}{cosB}+\frac{2R\times sinC}{cosC}=\frac{2R\times sin\left(B+C\right)}{sinBsinC}\)
<=>sinB/cosB + sinC/cosC = sin(B+C)/(sinB.sinC)
<=> sin(B+C)/(cosBcosC) = sin(B+C)/(sinB.sinC)
<=> cosBcosC = sinB.sinC
<=> cosBcosC - sinB.sinC = 0
<=> cos(B+C) = 0
<=> B+C = 90o
vậy tam giác ABC vuông tại A
b/cosB+c/cosC=a/sinB.sinC (*)
Áp dụng định lý hàm số sin:
a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R
=> a = 2R.sinA = 2R.sin[1800 - (B+C)] = 2R.sin(B+C)
và b = 2R.sinB; c = 2R.sinC thay vào (*) được:
2R.sinB/cosB + 2RsinC/cosC = 2R.sin(B+C)/(sinB.sinC)
<=>sinB/cosB + sinC/cosC = sin(B+C)/(sinB.sinC)
<=> sin(B+C)/(cosBcosC) = sin(B+C)/(sinB.sinC)
<=> cosBcosC = sinB.sinC
<=> cosBcosC - sinB.sinC = 0
<=> cos(B+C) = 0
<=> B+C = 900
\(sin^2A+sin^2B+cos^2C+\frac{1}{4}=2sinA.sinB+cosC\)
\(\Leftrightarrow sin^2A+sin^2B-2sinA.sinB+\frac{1}{4}\left(4cos^2C-4cosC+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(sinA-sinB\right)^2+\frac{1}{4}\left(2cosC-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}sinA-sinB=0\\2cosC-1=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}A=B\\cosC=\frac{1}{2}\Rightarrow C=60^0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow A=B=C=60^0\Rightarrow\Delta ABC\) đều
\(\cos2A+\cos2B+\cos2C=-1\)
\(\Leftrightarrow\cos2A+\cos2B+\cos2C+1=0\)
\(\Leftrightarrow2\cos\left(A+B\right)\cos\left(A-B\right)+2\cos^2C=0\)
\(\Leftrightarrow2\cos\left(180^0-C\right)\cos\left(A-B\right)+2\cos^2C=0\)
\(\Leftrightarrow-2\cos C\cos\left(A-B\right)+2\cos^2C=0\)
\(\Leftrightarrow-2\cos C(\cos\left(A-B\right)-\cos C)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\cos C=0\\\cos\left(A-B\right)=\cos C\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}C=90^0\\A-B=C\\A-B=-C\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}C=90^0\\A=B+C\\A+C=B\end{matrix}\right.\)
Nếu \(A=B+C\Rightarrow A=B+C=\dfrac{180^o}{2}=90^o\) Tam giác ABC vuông tại A.
Nếu \(B=A+C\Rightarrow B=A+C=\dfrac{180^o}{2}=90^o\) Tam giác ABC vuông tại B.
Vậy, nếu \(\cos2A+\cos2B+\cos2C=-1\) thì tam giác ABC là tam giác vuông.