Question

[my name is crazy]

Cho tam giác ABC nhon.Trên các đường trung trực AB,AC,BC kẻ từ các trung điểm I,K,O của các cạnh này vè miền ngoài tam giác lấy điểm tương ứng M,N,P sao cho IM=1/2 Ab,KN=1/2 AC, OP=1/2 BC

a. Chứng minh AP vuông góc MN , AP=MN

b. Chứng minh BN=MP

Answer 1

[Trần Việt Anh]

a,Theo đề bài I, K, L theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC nên ta dễ dàng chứng minh được 

IK=12BC, IL=12AC

Suy ra IK=LP, IL=KN, IK//BC, AL//AC nên C^=AKI^ (đồng vị), C^=ILB^ (đồng vị).

Suy ra AKI^=ILB^, do đó IKN^=ILP^

Vậy △IKN=△PLI (cgc)

Suy ra IN=IP và NIK^=IPL^

Do đó NIP^=NIK^+KIL^+LIP^=IPL^+ILB^+LIP^=90∘ (xét △IPL)

Suy ra IN⊥IP

b,MIN^=AIP^    (bằng 90∘+AIN^)

Ta có: △AIP=△MIN (cgc)

c,Từ câu b, ta có: MNI^=API^

Gọi giao điểm của AP với MN là Q, AP với IN là E, ta có: NEQ^=IEP^ (đối đỉnh)

Suy ra ENO^+NEQ^=EPI^+IEP^=90∘

Nên EQN^=90∘.

Vậy AP vuông góc với MN.