Question

[Lê Xuân Hoan]

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD và BE của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm của BC, vẽ HM vuông góc cới AI tại M.

          a) Chửng minh tứ giác AHME nội tiếp và AE.AC = AM.AI;

          b) Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N. Chứng minh I là trung điểm của đoạn thẳng MN.

Answer 1

[An Thy]

a) Ta có: \(\angle AMH=\angle AEH=90\Rightarrow AEMH\) nội tiếp

\(\Rightarrow\angle AME=\angle AHE\)

Ta có: \(\angle HEC+\angle HDC=90+90=180\Rightarrow HECD\) nội tiếp

\(\Rightarrow\angle AHE=\angle ACD\Rightarrow\angle AME=\angle ACD\Rightarrow MECI\) nội tiếp

\(\Rightarrow\angle AME=\angle ACI\)

Xét \(\Delta AME\) và \(\Delta ACI:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle AME=\angle ACI\\\angle CAIchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta AME\sim\Delta ACI\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AE}{AI}\Rightarrow AE.AC=AM.AI\)

b) Gọi T là trung điểm AH

Dễ dàng chứng minh được T là tâm (AEMH)

 \(\Rightarrow\Delta TEH\) cân tại T \(\Rightarrow\angle TEH=\angle THE=\angle ACB\) ​(HECD nội tiếp)

\(\Delta EBC\) ​vuông tại E có I là trung điểm BC cân tại I

 \(\Rightarrow\Delta EBI\) cân tại I \(\Rightarrow\angle BEI=\angle EBI\)​

mà \(\angle EBI+\angle ACB=90\Rightarrow\angle BEI+\angle TEH=90\Rightarrow\angle TEI=90\)

\(\Rightarrow IE\) là tiếp tuyến của (AEMH) 

\(\Rightarrow\angle IAE=\angle IEM=\angle ICM\) (EMIC nội tiếp)

mà \(\angle IAE=\angle NBC\) (NBAC nội tiếp) \(\Rightarrow\angle ICM=\angle NBC\)

\(\Rightarrow CM\parallel BN\)

Tương tự \(\Rightarrow BM\parallel CN\) \(\Rightarrow BMCN\) là hình bình hành

mà I là trung điểm BC \(\Rightarrow I\) là trung điểm MN

Answer 2

[missing you =]

mỏi tay quá bạn :>