Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1.
Chứng minh được .
Suy ra điểm cùng thuộc đường tròn đường kính nên tứ giác nội tiếp.
Có tứ giác nội tiếp nên ( góc nội tiếp cùng chắn cung ) hay .
Trong đường tròn tâm , ta có là góc nội tiếp chắn cung và nội tiếp chắn cung
.
2.
có nên hay .
Ta chứng minh được vừa là đường cao, vừa là phân giác của tam giác nên là trung điểm của .
Chứng minh tương tự là trung điểm của là đường trung bình của tam giác (1).
Do nên là điểm chính giữa cung (2).
Từ (1) và (2) suy ra .
3.
Kẻ đường kính của đường tròn tâm , chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính .
Chứng minh tứ giác là hình bình hành, suy ra .
Trong đường tròn có (2 góc nội tiếp cùng chắn cung ). Chỉ ra tam giác vuông tại và áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc ta được cm.
Đường tròn ngoại tiếp tứ giác cũng là đường tròn ngoại tiếp tam giác .
Gọi là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác .
Suy ra cm.
Vậy cm.
llllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllloooooooooooooooonnnnnnnnnnnnnnnnnn
Tổng quát cho câu 2 là định lí Ptolemy, như sau: Cho \(ABCD\) nội tiếp bất kì. Khi đó \(AC.BD=AB.CD+AD.BC\).
CM: Vẽ \(E\in AC\) sao cho \(\widehat{ABD}=\widehat{EBC}\).
Khi đó có hai tam giác sau đồng dạng \(ABD\) và \(EBC\), \(ABE\) và \(DBC\).
Suy ra tỉ lệ cạnh: \(\frac{AD}{EC}=\frac{BD}{BC}\) và \(\frac{AB}{DB}=\frac{AE}{DC}\).
Hay \(AD.BC=BD.EC\) và \(AB.DC=AE.DB\)
Cộng lại: \(AB.CD+AD.BC=BD\left(AE+EC\right)=AC.BD\)
a) Nối HK; BK; CK
+) Góc ACK ; góc ABK là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O;R) => góc ACK = 90o ; góc ABK = 90o
=> AB | BK; AC | CK
Mà AB | CF; AC | BE nên CF // BK ; BE // CK => T/g BHCK là hình bình hành => 2 đường chéo BC ; HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
Mà I là trung điểm của BC => I là trung điểm của HK
+) Xét tam giác AKH có: O; I là trung điểm của AK; HK => OI là đường trung bình của tam giác AKH => AH = 2.OI
b) +) Góc BAC là nội tiếp chắn cung BC => Góc BAC = 1/2 góc BOC ( Mối liên hệ giữa góc ở tâm và góc nội tiếp)
=> góc BOC = 2.60o = 120o . Mà tam giác BOC cân tại O ; OI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường p/g và đường cao
=> góc BOI = 1/2 góc BOC = 60o
+) Xét tam giác vuông BIO có: BI = OB.sin BOI = R. sin 60o = \(\frac{R\sqrt{3}}{2}\) => BC = 2.BI = \(R\sqrt{3}\)
Vậy....
Cho △ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp (O), 2 đường cao BD và CE cắt nhau tại H
a/ Chứng minh : B,C,D,E cùng nằm trên một đường tròn .Xác định tâm M của đường tròn này.
b/ Chứng minh : OM // AH
c/ Chứng minh : AB.AE = AC.AD
d/ Gọi K là điểm đối xứng của H qua M .
Xét \(\Delta ABK\)và \(\Delta C\text{D}K\)có:
\(\widehat{A_1}=\widehat{C_2}\)( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung BD )
\(\widehat{AKB}=\widehat{CK\text{D}}\)( đối đỉnh )
\(\Rightarrow\Delta ABK~\Delta C\text{D}K\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{KA}{KB}=\frac{KC}{K\text{D}}\Rightarrow KA.K\text{D}=KB.KC\)
b) Kéo dài CH và BH cắt AB và AC lần lượt tại N và M
Xét \(\Delta HC\text{D}\) có:
CK vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến
\(\Rightarrow\Delta HC\text{D}\)cân tại C
\(\Rightarrow\)CK là đường phân giác của \(\widehat{HC\text{D}}\Rightarrow\widehat{C_1}=\widehat{C_2}\)
Xét \(\Delta AMH\) và \(\Delta CKH\)có:
\(\widehat{AHM}=\widehat{CHK}\)( đối đỉnh )
\(\widehat{A_1}=\widehat{C_1}\)( cùng bằng \(\widehat{C_2}\))
\(\Rightarrow\Delta AMH~\Delta CKH\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{AMH}=\widehat{CKH}=90^0\)
Hay \(CM\perp AB\)
Xét \(\Delta ABC\)có:
2 đường cao cắt nhau tại H
\(\Rightarrow\)H là trực tâm của tam giác ABC
c) Ta có: DE // BC Mà \(A\text{D}\perp BC\Rightarrow DE\perp A\text{D}\Rightarrow\widehat{FDE}=90^0\)
Xét \(\Delta AFB\)Và \(\Delta\text{E}FD\)có:
\(\widehat{F_1}=\widehat{F_2}\)( đối đỉnh )
\(\widehat{A_1}=\widehat{FED}\)( góc nội tiếp cùng chắn cung BD )
\(\Rightarrow\Delta\text{A}FB~\Delta\text{E}FD\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{ABF}=\widehat{E\text{D}F}=90^0\)
Xét tam giác ABE nội tiếp đường tròn ( O, R )
có: \(\widehat{ABE}=90^0\)\(\Rightarrow\)AE là đường kính của ( O, R )
\(\Rightarrow\)A , O , E thẳng hàng
