Question

[Trần Quốc Tuấn hi]

Cho tam giác ABC cân tại A , đường trung tuyến AM , biết AB = 5cm , BC = 6cm . Gọi K là ddiemr đối xứng với A qua M 

a ) Chứng minh tứ giác ABKC là hình thoi 

b Qua A kẻ đương thẳng // với BC cắt KC kéo dài tại D . tứ giác ABCD là hình gì ? Vì sao 

c ) Tính số đo ^DAK 

d ) Tam giác ABC có thêm điều kiện gì thì ABKC là hình vuông 

Answer 1

[HerryVN]

Xét Δcân ABC có:

AM là đg trung tuyến(GT)

➝M là trung điểm của BC (T/c dg trung tuyến)

Vì k đ/x với A qua M(GT)

➝M là trung điểm của AK (T/c đ/x điểm)

Xét tứ giác ABKC có:

M là trung điểm của AK(CMT)

M là trung điểm của BC(CMT)

➩ABKC là hình bình hành (tứ giác có 2 đg chéo đi qua 1 điểm là HBH)

mà AB=AC(△ABC cân tại A)

⇒ABKC là hình thoi (HBH có 2 cạnh= nhau là h.thoi)

⇒AK là phân giác của ∠BAC;KA là phân giác của ∠BKC;∠BAC=∠BKC(T/c h.thoi)

→∠BAK=∠AKC=∠KAC=∠BKA=\(\dfrac{1}{2}\) ∠BAC=\(\dfrac{1}{2}\)∠BKC

Xét ΔACK có:

∠AKC=∠KAC(CMT)

➞△ACK cân tại C(△ có 2 cạnh = nhau là △cân)

Vì ∠ACD là góc ngoài tại đỉnh C của △ACK 

➜∠KAC+∠AKC=∠ACD

mà ∠AKC=∠BAK (CMT)

➞∠BAK+∠KAC=∠BAC=∠ACD

mà ∠BAC và ∠ACD là 2 góc so le trong của AB và CD

➞AB song song với CD (tại ko có kí hiệu nên mk viết tạm nha Tuấn)

mà AD song song với BC (GT)

➜ABCD là HBH (tứ giác có 2 cặp cạnh song song là HBH)

ta cần thêm vào △ABC là ∠BAC vuông

⇒ta có △ABC vuông cân tại A để ABKC là h.vuông