Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1/ \(2C^k_n+5C^{k+1}_n+4C^{k+2}_n+C^{k+3}_n\)
\(=2\left(C^k_n+C_n^{k+1}\right)+3\left(C^{k+1}_n+C^{k+2}_n\right)+\left(C^{k+2}_n+C^{k+3}_n\right)\)
\(=2C_{n+1}^{k+1}+3C_{n+1}^{k+2}+C_{n+1}^{k+3}\)
\(=2\left(C_{n+1}^{k+1}+C_{n+1}^{k+2}\right)+\left(C_{n+1}^{k+2}+C^{k+3}_{n+1}\right)\)
\(=2C_{n+2}^{k+2}+C_{n+2}^{k+3}=C_{n+2}^{k+2}+\left(C_{n+2}^{k+2}+C_{n+2}^{k+3}\right)=C_{n+2}^{k+2}+C_{n+3}^{k+3}\)
Áp dụng ct:C(k)(n)=C(k)(n-1)+C(k-1)(n-1) có:
................C(k-1)(n-1)= C(k)(n) - C(k)(n-1)
tương tự: C(k-1)(n-2)= C(k)(n-1) - C(k)(n-2)
................C(k-1)(n-3)= C(k)(n-2) -C(k)(n-3)
.........................................
................C(k-1)(k-1)= C(k)(k) (=1)
Cộng 2 vế vào với nhau...-> đpcm
Giả sử có 1 nhóm người gồm 2n người, trong đó có n nam và n nữ.
Chọn n người từ 2n người đó, ta thực hiện theo 2 cách:
- Cách 1: chọn bất kì, có \(C_{2n}^n\) cách (1)
- Cách 2: giả sử trong n người được chọn có k nữ và \(n-k\) nam
Chọn k nữ từ n nữ, có \(C_n^k\) cách
Chọn \(n-k\) nam từ n nam, có \(C_n^{n-k}\) cách
Số cách thỏa mãn: \(\sum\limits^n_{k=0}C_n^kC_n^{n-k}=\sum\limits^n_{k=0}C_n^kC_n^k=\sum\limits^n_{k=0}\left(C_n^k\right)^2\) (2)
(1); (2) \(\Rightarrow\sum\limits^n_{k=0}\left(C_n^k\right)^2=C_{2n}^n\)
ta có : \(Q=C^1_n+2\dfrac{C_n^2}{C_n^1}+...+k\dfrac{C^k_n}{C_n^{k-1}}+...+n\dfrac{C^n_n}{C_n^{n-1}}\)
\(\Leftrightarrow Q=\dfrac{n!}{1!\left(n-1\right)!}+2\dfrac{1!\left(n-1\right)!}{2!\left(n-2\right)!}+...+k\dfrac{\left(k-1\right)!\left(n-k+1\right)!}{k!\left(n-k\right)!}+...+\dfrac{n\left(n-1\right)!1!}{n!}\)
\(\Leftrightarrow Q=n+\dfrac{2\left(n-1\right)}{2}+...+\dfrac{k\left(n-k+1\right)}{k}+...+\dfrac{n}{n}\)
\(\Leftrightarrow Q=n+\left(n-1\right)+...+\left(n-k+1\right)+...+1\)
\(\Leftrightarrow Q=n^2-\left(1+\left(1+1\right)+\left(1+2\right)+...+\left(n-1\right)\right)\)
Xét tập A có n phần tử
Ta sẽ đếm số tập con của chúng bằng hai cách:
-Cách 1:
+Số tập con có 0 phần tử là: \(C^0_n\) tập
+Số tập con có 1 phần tử là: \(C^1_n\) tập
...
+Số tập con có 0 phần tử là: \(C^n_n\) tập
Khi đó vế trái của đẳng thức cần chứng minh là tổng số tập con của tập đó
Cách 2: Xét tập B là tập con của tập A
Một phần tử i bất kì thuộc A có thể thuộc B hoặc không thuộc B nên phần tử i đó có 2 khả năng xảy ra. Làm tương tự với n-1 phần tử còn lại thì vế phải của đẳng thức cần chứng minh là số tập con của tập A
Ta chứng minh bằng quy nạp.
Ta thấy công thức trên đúng với n = 1.
Giả sử nó đúng đến n. Ta chứng minh nó đúng với n + 1.
Nhận thấy VT là số tập hợp con của một tập hợp có n phần tử.
Nếu ta thêm 1 phần tử thì số tập hợp con tăng thêm chính bằng số tập hợp con của tập hợp đó.
Do đó số tập hợp con của một tập hợp có n + 1 phần tử là: \(2^n+2^n=2^{n+1}\).
Vậy công thức trên đúng với n + 1. Phép cm hoàn tất.
