Question

[★彡FOREVER ミ★]

Cho hình chữ nhật ABCD. Vẽ BH vuông góc với AC. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của AH, BH, CD

a, Cm tứ giác MNCP là hình bình hành

b, CM N là trực tâm của tam giác MBC

c, CM MP vuông góc MB

d, Gọi I là trung điểm của BP và J là giao điểm của AC và NP

   CM: 2( MI - IJ) <NP

Mọi người giúp mk vs nhé! Chỉ cần phần d thôi!!!! 

Answer 1

[nghia]

a) cm tứ giác MNCP là hình bình hành

 Xét \(\Delta AHB\)có:

 MA = MH ( vì M là trung điểm của AH )

 NH = NB ( vì N là trung điểm của BH )

Vậy => MN là đường trung bình của \(\Delta AHB\)

=> MN // AB và MN = 1/2 AB

Mà AB = CD ( vì ABCD là hình chữ nhật )

Vậy => MN // CD và MN = 1/2 CD

                         mà PC = 1/2 CD ( Vì P là trung điểm của CD )

                           Vậy => MN // CP và MN = CP

                                  => MNCP là hình bình hành

b) cm N là trực tâm của \(\Delta MBC\)

 Vì MNCP là hình bình hành ( theo cm phần a )

=> MN // CP 

Mà \(CP\perp BC\)( vì ABCD là hình chữ nhật )

 Vậy => \(MN\perp BC\)

Xét \(\Delta CMB\)có

BH và MN cắt nhau tại M

\(MN\perp CB\left(cmt\right)\)

\(BH\perp MC\left(theogt\right)\)

Vậy => N là trực tâm của \(\Delta MBC\)

c) cm MP vuông góc với MB

Vì N là trực tâm của \(\Delta MBC\)( theo cm phần b )

=> \(CN\perp MB\)

Mà \(CN//MP\)( vì MNCP là hình bình hành )

 Vậy => \(MB\perp MP\)

d) gọi I là trung điểm của BP và J là giao điểm của AC và NP 

cm 2( MI - IJ ) < NP

Vì \(MB\perp MP\)( theo cm phần c )

=> \(\Delta BMP\)vuông tại M 

Mà I là trung điểm của BP

 Vậy => MI = IB = IP = 1/2 BP

Xét \(\Delta IJP\)có:

( IP - IJ ) < JP

=> 2(IP - IJ) < 2JP

mà IP = IP ( theo cmt )

2JP = PN ( vì I là trung điểm của PN )

Vậy => 2(MI - IJ) < NP