Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) (SAB) và (SAD) cùng vuông góc (ABCD), (SAB) và (SAB) có giao tuyến SA => SA vuông góc (ABCD)
=> BC vuông góc SA. Mà BC vuông góc AB nên BC vuông góc (SAB).
Ta cũng có BD vuông góc AS, BD vuông góc AC vì ABCD là hình vuông
=> BD vuông góc (SAC) hay (SAC) vuông góc (SBD).
b) Gọi M là trung điểm của AB, CM cắt AD tại P, H thuộc CM sao cho AH vuông góc CM, K thuộc SH sao cho AK vuông góc SH.
Dễ thấy AN || CM => AN || (SCM) => d(AN,SC) = d(AN,SCM) = d(A,SCM) = d(A,SMP)
Ta có AH vuông góc MP, MP vuông góc AS => MP vuông góc (HAS) => (SMP) vuông góc (HAS)
Vì (SMP) và (HAS) có giao tuyến SH, AK vuông góc SH tại K nên d(A,SMP) = AK
Theo hệ thức lượng thì: \(\frac{1}{AK^2}=\frac{1}{AS^2}+\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AP^2}\)
\(\Rightarrow d\left(AN,SC\right)=d\left(A,SMP\right)=AK=\frac{AS.AM.AP}{\sqrt{AS^2AM^2+AM^2AP^2+AP^2AS^2}}\)
\(=\frac{a\sqrt{2}.\frac{a}{2}.a}{\sqrt{2a^2.\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}.a^2+a^2.2a^2}}=\frac{a\sqrt{22}}{11}.\)
Hai mặt phẳng (AB′D′)(AB′D′) và (A′C′D)(A′C′D) có giao tuyến là EFEF như hình vẽ.
Hai tam giác ΔA′C′D=ΔD′AB′ΔA′C′D=ΔD′AB′ và EFEF là đường trung bình của hai tam giác nên từ A′A′ và D′D′ ta kẻ 2 đoạn vuông góc lên giao tuyến EFEF sẽ là chung một điểm HH như hình vẽ.
Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng cần tìm chính là góc giữa hai đường thẳng A′HA′H và D′HD′H.
Tam giác DEFDEF lần lượt có D′E=D′B′2=√132D′E=D′B′2=132, D′F=D′A2=52D′F=D′A2=52, EF=B′A2=√5EF=B′A2=5.
Theo hê rông ta có: SDEF=√614SDEF=614. Suy ra D′H=2SDEFEF=√30510D′H=2SDEFEF=30510.
Tam giác D′A′HD′A′H có: cosˆA′HD′=HA′2+HD′2−A′D′22HA′.HD′=−2961cosA′HD′^=HA′2+HD′2−A′D′22HA′.HD′=−2961.
Do đó ˆA′HD′≈118,4∘A′HD′^≈118,4∘ hay (ˆA′H,D′H)≈180∘−118,4∘=61,6∘(A′H,D′H^)≈180∘−118,4∘=61,6∘.
Gọi và lần lượt là trung điểm của và .
Theo tính chất đường trung bình trong tam giác ta có và .
Suy ra .
Ta có và ;\\
.
Vậy .2/5
Do tam giác SAB đều và nằm trong mp vuông góc đáy \(\Rightarrow\) H là trung điểm AB
Gọi M là trung điểm AC\(\Rightarrow AM\perp AC\) (trung tuyến đồng thời là đường cao)
Gọi N là trung điểm AM \(\Rightarrow\) NH là đường trung bình tam giác AMH \(\Rightarrow NH||BM\Rightarrow NH\perp AC\)
\(\Rightarrow AC\perp\left(SNH\right)\)
Trong tam giác vuông SNH kẻ \(HK\perp SN\Rightarrow HK=d\left(H;\left(SAC\right)\right)\)
\(SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) (trung tuyến tam giác đều)
\(BM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow NH=\dfrac{1}{2}BM=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}\)
Hệ thức lượng:
\(\dfrac{1}{HK^2}=\dfrac{1}{SH^2}+\dfrac{1}{NH^2}=\dfrac{20}{3a^2}\Rightarrow NH=\dfrac{a\sqrt{15}}{10}\)
Lời giải:
Gọi $O$ là tâm đáy thì $SO\perp (ABCD)$
Ta thấy:
$BO\perp AC, BO\perp SO\Rightarrow BO\perp (AC, SO)$
Hay $BO\perp (SAC)(*)$
Gọi $T$ là trung điểm $AB$, $OH\perp ST$.
$OT\perp AB$
$SO\perp AB$
$\Rightarrow (SOT)\perp AB$
$\Rightarrow OH\perp AB$
Mà $OH\perp ST$
$\Rightarrow OH\perp (AB, ST)$ hay $OH\perp (SAB)(**)$
Từ $(*); (**)\Rightarrow \cos a=\cos \widehat{HOB}$
Trong đó:
$BO=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$
$SO=\sqrt{SB^2-BO^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{6}$
$ST=\sqrt{SO^2+OT^2}=\sqrt{6+1}=\sqrt{7}$
$OH=\frac{SO.OT}{ST}=\frac{\sqrt{6}.1}{\sqrt{7}}=\sqrt{\frac{6}{7}}$
Vì $OH\perp (SAB)$ nên tam giác $BHO$ vuông tại $H$. Do đó:
$\cos a=\cos \widehat{HOB}=\frac{HO}{OB}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}.\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$