Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(y=\dfrac{x-1}{x+1}\Rightarrow y'=\dfrac{2}{\left(x+1\right)^2}>0\)
Do OAB vuông cân \(\Rightarrow AB\) tạo với trục hoành 1 góc 45 độ hoặc 135 độ
\(\Rightarrow\) Hệ số góc đường thẳng thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}k=tan45^0=1\\k=tan135^0=-1< 0\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{2}{\left(x+1\right)^2}=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1-\sqrt{2}\Rightarrow y=1+\sqrt{2}\\x=-1+\sqrt{2}\Rightarrow y=1-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
Phương trình tiếp tuyến:
\(\left[{}\begin{matrix}y=1\left(x+1+\sqrt{2}\right)+1+\sqrt{2}\\y=1\left(x+1-\sqrt{2}\right)+1-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
\(y'=\dfrac{-3}{\left(x-1\right)^2}\)
Gọi tiếp điểm có hoành độ \(x_0\)
Phương trình tiếp tuyến: \(y=\dfrac{-3}{\left(x_0-1\right)^2}\left(x-x_0\right)+\dfrac{2x_0+1}{x_0-1}\) (1)
a.
Tọa độ A và B có dạng: \(A\left(\dfrac{2x_0^2+2x_0-1}{3};0\right)\) ; \(B\left(0;\dfrac{2x_0^2+2x_0-1}{\left(x_0-1\right)^2}\right)\)
\(\Rightarrow OA=\left|\dfrac{2x_0^2+2x_0-1}{3}\right|;OB=\dfrac{\left|2x_0^2+2x_0-1\right|}{\left(x_0-1\right)^2}\)
\(S_{OAB}=\dfrac{1}{2}OA.OB=\dfrac{1}{6}\Rightarrow OA.OB=\dfrac{1}{3}\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(2x_0^2+2x_0-1\right)^2}{3\left(x_0-1\right)^2}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow\left(2x_0^2+2x_0-1\right)^2=\left(x_0-1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(2x_0^2+3x_0-2\right)\left(2x_0^2+x_0\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_0=0\\x_0=-\dfrac{1}{2}\\x_0=-2\\x_0=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
Có 4 tiếp tuyến thỏa mãn:... (thế lần lượt các giá trị \(x_0\) vào (1) là được)
\(y'=\dfrac{-4}{\left(x-1\right)^2}\)
a) \(y'=-1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=-1\end{matrix}\right.\)
pt tiếp tuyến : \(\left[{}\begin{matrix}y=-\left(x-3\right)+4=-x+7\\y=-\left(x+1\right)=-x-1\end{matrix}\right.\)
b) \(k=\pm1\)
\(y'< 0\forall x\Rightarrow y'=-1\)
làm như trên
c) hoành độ tiếp điểm \(x=\pm2\)
TH x = 2
\(k=-4\)
pt tiếp tuyến : \(y=-4\left(x-2\right)+6=-4x+14\)
TH x = -2
\(k=-\dfrac{4}{9}\)
pt tiếp tuyến : \(y=-\dfrac{4}{9}\left(x+2\right)+\dfrac{2}{3}=-\dfrac{4}{9}x-\dfrac{2}{9}\)
Pt hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (C) với đường thẳng d là:
\(\dfrac{x-1}{x+1}=m-x\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ne-1\\g\left(x\right)=x^2+\left(2-m\right)x-m-1=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Đồ thị (C) cắt đường thẳng d tại 2 điểm phân biệt <=> pt(1) có 2 nghiệm phân biệt khác -1
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\g\left(-1\right)\ne0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2+8>0\\-2\ne0\end{matrix}\right.\)
Khi đó: \(x_A,x_B\) là nghiệm của pt (1). Vì tiếp tuyến tại A và B //
\(\Rightarrow f'\left(x_A\right)=f'\left(x_B\right)\Leftrightarrow\dfrac{2}{\left(x_A+1\right)^2}=\dfrac{2}{\left(x_B+1\right)^2}\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_A=x_B\left(loai\right)\\x_A+x_B=-2\end{matrix}\right.\)
Theo định lí Viet ta có:
\(x_A+x_B=m-2\Rightarrow m-2=-2\Leftrightarrow m=0\)
\(y'=\frac{-1}{\left(x-1\right)^2}\)
a/ Gỉa sử tại \(A\left(a;\frac{2a-1}{a-1}\right)\) đồ thị hàm số có tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu
Phương trình d tiếp tuyến:
\(y=\frac{-1}{\left(a-1\right)^2}\left(x-a\right)+\frac{2a-1}{a-1}\)
Giao điểm của d với \(x=1\) và \(y=2\) lần lượt có tọa độ \(B\left(1;\frac{2a}{a-1}\right)\) và \(C\left(2a-1;2\right)\)
\(IB=\sqrt{\left(1-1\right)^2+\left(\frac{2a}{a-1}-2\right)^2}=\frac{2}{\left|a-1\right|}\)
\(IC=\sqrt{\left(2a-1-1\right)^2+\left(2-2\right)^2}=2\left|a-1\right|\)
\(BC=\sqrt{IB^2+IC^2}=\sqrt{\frac{4}{\left(a-1\right)^2}+4\left(a-1\right)^2}\)
\(\Rightarrow P_{IBC}=IB+IC+BC=\frac{2}{\left|a-1\right|}+2\left|a-1\right|+\sqrt{\frac{4}{\left(a-1\right)^2}+4\left(a-1\right)^2}\)
\(\Rightarrow P_{IBC}\ge2\sqrt{\frac{2}{\left|a-1\right|}.2\left|a-1\right|}+\sqrt{2\sqrt{\frac{4}{\left(a-1\right)^2}.4\left(a-1\right)^2}}=4+2\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a-1\right)^2=1\Rightarrow a=0\)
Phương trình d: \(y=-x+1\)
b/ Có một cách ứng dụng, đó là tiếp tuyến có khoảng cách đến giao điểm của hai tiệm cận là lớn nhất khi tiếp tuyến đó vuông góc với đường phân giác hai tiệm cận (đường phân giác có cắt đồ thị hàm số)
\(\Rightarrow\) Nếu hàm số đồng biến thì tiếp tuyến này có hệ số góc bằng 1, hàm số nghịch biến thì tiếp tuyến này có hệ số góc bằng -1
Ví dụ trong bài này, hàm số nghịch biến nên ta có ngay tiếp tuyến cần tìm có dạng \(y=-x+b\)
Mặt khác \(y'\left(x_0\right)=-1\Rightarrow\frac{-1}{\left(x_0-1\right)^2}=-1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_0=0\\x_0=2\end{matrix}\right.\)
Phương trình tiếp tuyến: \(\left[{}\begin{matrix}y=-x+1\\y=-x+5\end{matrix}\right.\)
// Làm theo kiểu bình thường:
Gọi \(A\left(a;\frac{2a-1}{a-1}\right)\) là điểm mà tại đó tiếp tuyến có tính chất thoả mãn yêu cầu
Phương trình tiếp tuyến d: \(y=\frac{-1}{\left(a-1\right)^2}\left(x-a\right)+\frac{2a-1}{a-1}\)
\(\Leftrightarrow x+\left(a-1\right)^2y-2a^2+2a-1=0\)
Áp dụng công thức khoảng cách:
\(d\left(I;d\right)=\frac{\left|1+2\left(a-1\right)^2-2a^2+2a-1\right|}{\sqrt{1^2+\left(a-1\right)^4}}=\frac{2\left|a-1\right|}{\sqrt{1+\left(a-1\right)^4}}=\frac{2}{\sqrt{\frac{1}{\left(a-1\right)^2}+\left(a-1\right)^2}}\le\frac{2}{\sqrt{2\sqrt{\frac{1}{\left(a-1\right)^2}\left(a-1\right)^2}}}=\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a-1\right)^4=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\\a=2\end{matrix}\right.\)
Phương trình tiếp tuyến: \(\left[{}\begin{matrix}y=-x+1\\y=-x+5\end{matrix}\right.\)
Rõ ràng cách này dài hơn rất nhiều
