Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
\(\left(b-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\) <=> \(b^2-b+\dfrac{1}{4}\ge0\) <=>\(b-\dfrac{1}{4}\le b^2\)
Mà :
a<1 => \(log_a\left(b-\dfrac{1}{4}\right)\ge log_ab^2=2log_ab\)
P=\(log_a\left(b-\dfrac{1}{4}\right)-\dfrac{1}{2}log_{\dfrac{a}{b}}b=log_a\left(b-\dfrac{1}{4}\right)-\dfrac{1}{2}.\dfrac{log_ab}{1-log_ab}\ge2log_ab-\dfrac{1}{2}.\dfrac{log_ab}{1-log_ab}\)
Đặt t=logab
Do b<a<1 => t=logab >1
Khi đó \(P\ge2t+\dfrac{t}{2t-2}=f\left(t\right)\). Khảo sát f(t) trên (1;+\(\infty\)) ta đc
P\(\ge\)f(t) \(\ge\) f\(\left(\dfrac{3}{2}\right)\) = \(\dfrac{9}{2}\)
\(=\left(log_{a^{-1}}a^2\right)^2+\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}log_aa\)
\(=\left(-1.2.log_aa\right)^2+\dfrac{1}{4}=4+\dfrac{1}{4}=\dfrac{17}{4}\)
Bài này cái khó là sử lý điều kiện thôi nên t làm phần đó thôi nhé.
Từ điều kiện suy ra được.
log\(\sqrt{3}\)(3x + 3y) + (3x + 3y) = log\(\sqrt{3}\)(x2 + y2 + xy + 2) + (x2 + y2 + xy + 2)
Dễ thấy hàm số f(t) = log\(\sqrt{3}\)(t) + t đồng biến trên (0; +\(\infty\)) nên
=> 3x + 3y = x2 + y2 + xy + 2
\(P=\frac{1}{2}log_{\frac{a}{b}}a-4log_a\left(a+\frac{b}{4}\right)=\frac{1}{2log_a\frac{a}{b}}-4log_a\left(a+\frac{b}{4}\right)=\frac{1}{2\left(1-log_ab\right)}-4log_a\left(a+\frac{b}{4}\right)\)
Ta có: \(a+\frac{b}{4}\ge2\sqrt{\frac{ab}{4}}=\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow log_a\left(a+\frac{b}{4}\right)\le log_a\sqrt{ab}\) (do \(0< a< 1\))
\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{2\left(1-log_ab\right)}-4log_a\sqrt{ab}=\frac{1}{2\left(1-log_ab\right)}-2\left(1+log_ab\right)\)
Đặt \(log_ab=x\Rightarrow0< x< 1\) \(\Rightarrow P\ge\frac{1}{2\left(1-x\right)}-2\left(1+x\right)\)
Xét hàm \(f\left(x\right)=\frac{1}{2\left(1-x\right)}-2\left(1+x\right)\) với \(0< x< 1\)
\(f'\left(x\right)=\frac{1}{2\left(1-x\right)^2}-2=0\Leftrightarrow\frac{1-4\left(1-x\right)^2}{2\left(1-x\right)^2}=0\Rightarrow x=\frac{1}{2}\)
Từ BBT ta thấy \(f\left(x\right)_{min}=f\left(\frac{1}{2}\right)=-2\)
\(\Rightarrow P\ge-2\Rightarrow P_{min}=-2\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{1}{2}\\a=\frac{b}{4}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}log_ab=\frac{1}{2}\\a=\frac{b}{4}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b^2\\a=\frac{b}{4}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{1}{16}\\b=\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow S=\frac{5}{16}\)
