Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Số tam giác: \(C_{2n}^3=\frac{\left(2n\right)!}{\left(2n-3\right)!.6}=\frac{n\left(2n-1\right)\left(2n-2\right)}{3}\)
Cứ hai đường chéo qua tâm của đa giác đều sẽ đóng vai trò hai đường chéo của hình chữ nhật
Đa giác có \(n\) đường chéo qua tâm \(\Rightarrow C_n^2=\frac{n\left(n-1\right)}{2}\) hình chữ nhật
Ta có pt:
\(\frac{n\left(2n-1\right)\left(2n-2\right)}{3}=10n\left(n-1\right)\)
\(\Leftrightarrow n\left(n-1\right)\left(n-8\right)=0\Rightarrow n=8\)
Số tam giác là \(C_{2n}^3\). Một đa giác đều 2n đỉnh thì có n đường chéo xuyên tâm. Cứ 2 đường chéo xuyên tâm thì có một hình chữ nhật theo yêu cầu. Vậy số hình chữ nhật là \(C_n^2\).
Theo bài ta có phương trình :
\(C_{2n}^3=20C_n^2,\left(n\ge2\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(2n\right)!}{\left(2n-3\right)!3!}=20\frac{n!}{\left(n-2\right)!2!}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(2n-2\right)\left(2n-1\right)2n}{3}=20\left(n-1\right)n\)
\(\Leftrightarrow2\left(n-1\right)\left(2n-1\right)2n=60\left(n-1\right)n\)
\(\Leftrightarrow2n-1=15\), (do \(n\ge2\))
\(\Leftrightarrow n=18\)
Vậy đa giác đều có 16 cạnh, (thập lục giác đều)
\(\Leftrightarrow n\left(a_{n+2}-a_{n+1}\right)=\left(n+1\right)\left(a_{n+1}-a_n\right)+3n\left(n+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a_{n+2}-a_{n+1}}{n+1}=\dfrac{a_{n+1}-a_n}{n}+3\)
Đặt \(\dfrac{a_{n+1}-a_n}{n}=b_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b_1=\dfrac{a_2-a_1}{1}=-6\\b_{n+1}=b_n+3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow b_n\) là cấp số cộng với công sai 3
\(\Rightarrow b_n=b_1+\left(n-1\right)d=-6+3\left(n-1\right)=3n-9\)
\(\Rightarrow a_{n+1}-a_n=n\left(3n-9\right)=3n^2-9n\)
\(\Rightarrow a_{n+1}-\left(n+1\right)^3+6\left(n+1\right)^2-5\left(n+1\right)=a_n-n^3+6n^2-5n\)
Đặt \(a_n-n^3+6n^2-5n=c_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c_1=6-1+6-5=6\\c_{n+1}=c_n=...=c_1=6\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a_n=n^3-6n^2+5n+6\)
a.
\(\Leftrightarrow na_{n+2}-na_{n+1}=2\left(n+1\right)a_{n+1}-2\left(n+1\right)a_n\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a_{n+2}-a_{n+1}}{n+1}=2.\dfrac{a_{n+1}-a_n}{n}\)
Đặt \(b_n=\dfrac{a_{n+1}-a_n}{n}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b_1=\dfrac{a_2-a_1}{1}=1\\b_{n+1}=2b_n\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow b_n=2^{n-1}\Rightarrow a_{n+1}-a_n=n.2^{n-1}\)
\(\Leftrightarrow a_{n+1}-\left[\dfrac{1}{2}\left(n+1\right)-1\right]2^{n+1}=a_n-\left[\dfrac{1}{2}n-1\right]2^n\)
Đặt \(c_n=a_n-\left[\dfrac{1}{2}n-1\right]2^n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c_1=a_1-\left[\dfrac{1}{2}-1\right]2^1=2\\c_{n+1}=c_n=...=c_1=2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a_n=\left[\dfrac{1}{2}n-1\right]2^n+2=\left(n-2\right)2^{n-1}+2\)
b.
Câu b này đề sai
Với \(n=1\Rightarrow\sqrt{a_1-1}=0< \dfrac{1\left(1+1\right)}{2}\)
Với \(n=2\Rightarrow\sqrt{a_1-1}+\sqrt{a_2-1}=0+1< \dfrac{2\left(2+1\right)}{2}\)
Có lẽ đề đúng phải là: \(\sqrt{a_1-1}+\sqrt{a_2-1}+...+\sqrt{a_n-1}\ge\dfrac{n\left(n-1\right)}{2}\)
Ta sẽ chứng minh: \(\sqrt{a_n-1}\ge n-1\) ; \(\forall n\in Z^+\)
Hay: \(\sqrt{\left(n-2\right)2^{n-1}+1}\ge n-1\)
\(\Leftrightarrow\left(n-2\right)2^{n-1}+2n\ge n^2\)
- Với \(n=1\Rightarrow-1+2\ge1^2\) (đúng)
- Với \(n=2\Rightarrow0+4\ge2^2\) (đúng)
- Giả sử BĐT đúng với \(n=k\ge2\) hay \(\left(k-2\right)2^{k-1}+2k\ge k^2\)
Ta cần chứng minh: \(\left(k-1\right)2^k+2\left(k+1\right)\ge\left(k+1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(k-1\right)2^k+1\ge k^2\)
Thật vậy: \(\left(k-1\right)2^k+1=2\left(k-2\right)2^{k-1}+2^k+1\ge2k^2-4k+2^k+1\)
\(\ge2k^2-4k+5=k^2+\left(k-2\right)^2+1>k^2\) (đpcm)
Do đó:
\(\sqrt{a_1-1}+\sqrt{a_2-1}+...+\sqrt{a_n-1}>0+1+...+n-1=\dfrac{n\left(n-1\right)}{2}\)
Số vecto tạo từ 2n điểm là: \(A_{2n}^2\)
Đa giác đều 2n đỉnh có n đường chéo, cứ 2 đường chéo cho ta 1 hình chữ nhật tương ứng, do đó số hình chữ nhật có đỉnh là đỉnh của đa giác đều là: \(C_n^2\)
\(\Rightarrow A_{2n}^2=9C_n^2\Leftrightarrow\dfrac{\left(2n\right)!}{\left(2n-2\right)!}=\dfrac{9.n!}{2!.\left(n-2\right)!}\)
\(\Leftrightarrow2n\left(2n-1\right)=\dfrac{9n\left(n-1\right)}{2}\)
\(\Leftrightarrow n=5\)
dạ em chưa hiểu tại sao số vecto tạo từ 2n điểm và số hình chữ nhật có đỉnh là đỉnh của đa giác đều lại ra được như kia vậy ạ :(((