Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Từ đk trên ta có: \(2y^2+2zy+2z^2=2-3x^2\)
<=> \(3x^2+2y^2+2zy+2z^2=2\left(1\right)\)
<=>\(\left(x+y+z\right)^2+\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2=2\)
Do (x-y)2≥0; (x-z)2≥0 nên từ(*) suy ra (x+y+z)2≤2
Hay \(-\sqrt{2}\le x+y+z\le\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi x-y =0 và x-z=0 hay x=y=z
Thay vào (1) ta được 9x2=2 ; x=\(\dfrac{\sqrt{2}}{3};\dfrac{-\sqrt{2}}{3}\)
Với x=y=z =x=\(\dfrac{\sqrt{2}}{3};\dfrac{-\sqrt{2}}{3}\)thì max=\(\sqrt{2}\), min =\(-\sqrt{2}\)
a)
\(x^3+y^3+3\left(x^2+y^2\right)+4\left(x+y\right)+4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^3+3x^2+3x+1\right)+\left(y^3+3y^2+3y+1\right)+\left(x+y+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^3+\left(y+1\right)^3+\left(x+y+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left[\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2\right]+\left(x+y+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left[\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2+1\right]=0\)
Lại có :\(\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2+1=\left[\left(x+1\right)-\frac{1}{2}\left(y+1\right)\right]^2+\frac{3}{4}\left(y+1\right)^2+1>0\)
Nên \(x+y+2=0\Rightarrow x+y=-2\)
Ta có :
\(M=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}=\frac{-2}{xy}\)
Vì \(4xy\le\left(x+y\right)^2\Rightarrow4xy\le\left(-2\right)^2\Rightarrow4xy\le4\Rightarrow xy\le1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{xy}\ge\frac{1}{1}\Rightarrow\frac{-2}{xy}\le-2\)
hay \(M\le-2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=-1\)
Vậy \(Max_M=-2\)khi \(x=y=-1\)
c) ( Mình nghĩ bài này cho x, y, z ko âm thì mới xảy ra dấu "=" để tìm Min chứ cho x ,y ,z dương thì ko biết nữa ^_^ , mình làm bài này với điều kiện x ,y ,z ko âm nhé )
Ta có :
\(\hept{\begin{cases}2x+y+3z=6\\3x+4y-3z=4\end{cases}\Rightarrow2x+y+3z+3x+4y-3z=6+4}\)
\(\Rightarrow5x+5y=10\Rightarrow x+y=2\)
\(\Rightarrow y=2-x\)
Vì \(y=2-x\)nên \(2x+y+3z=6\Leftrightarrow2x+2-x+3z=6\)
\(\Leftrightarrow x+3z=4\Leftrightarrow3z=4-x\)
\(\Leftrightarrow z=\frac{4-x}{3}\)
Thay \(y=2-x\)và \(z=\frac{4-x}{3}\)vào \(P\)ta có :
\(P=2x+3y-4z=2x+3\left(2-x\right)-4.\frac{4-x}{3}\)
\(\Rightarrow P=2x+6-3x-\frac{16}{3}+\frac{4x}{3}\)
\(\Rightarrow P=\frac{x}{3}+\frac{2}{3}\ge\frac{2}{3}\)( Vì \(x\ge0\))
Dấu "=" xảy ra khi \(x=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=2\\z=\frac{4}{3}\end{cases}}\)( Thỏa mãn điều kiện y , z ko âm )
Vậy \(Min_P=\frac{2}{3}\)khi \(\hept{\begin{cases}x=0\\y=2\\z=\frac{4}{3}\end{cases}}\)
\(4x^2+4y^2\ge8xy\)
\(16x^2+z^2\ge8zx\)
\(16y^2+z^2\ge8yz\)
Cộng vế với vế:
\(20x^2+20y^2+2z^2\ge8\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow10x^2+10y^2+z^2\ge4\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{4}{3}\right)\)
với mọi x, y, z ta có:
(x-y)^2 +(y-z)^2+ (z-x)^2>=0
<=>2x^2 +2y^2 + 2z^2 - 2xy -2yz - 2xz >=0
<=>x^2 + y^2 +z^2 - xy -yz -zx >=0
<=>(x+y+z)^2 >= 3(x+y+z)
<=>[(x+y+z)^2]/3 >= xy+yz+ zx
=>xy +yz + zx <=3
dấu = xảy ra khi x=y=z =1
ai tích mình tích lại nhưng phải lên điểm mình tích gấp đôi
Ta có: \(x+y+z=18\)
\(\Leftrightarrow y=18-x-z\)
Thế vô \(x^2-yz=18\) ta được
\(x^2-18z+xz+z^2-18=0\)
\(\Leftrightarrow4x^2+4xz+4z^2-72z-72=0\)
\(\Leftrightarrow\left(4z^2+4xz+x^2\right)-36\left(2z+x\right)+324+\left(3x^2+36x+108\right)-72-324-108=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2z+x-18\right)^2+3\left(x+6\right)^2-504=0\)
\(\Leftrightarrow3\left(x+6\right)^2=504-\left(2z+x-18\right)^2\le504\)
\(\Rightarrow\left(x+6\right)^2\le168\)
\(\Rightarrow-2\sqrt{42}-6\le x\le2\sqrt{42}-6\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=42\\b=6\end{cases}}\)
\(\Rightarrow a+b=42+6=48\)
Ta có: \(x+y+z=18\)
\(\Leftrightarrow y=18-x-z\)
Thế vô \(x^2-yz=18\) ta được
\(x^2-18z+xz+z^2-18=0\)
\(\Leftrightarrow z^2+\left(x-18\right)z-18+x^2=0\)
Để phương trình bậc 2 theo z mà có nghiệm thì:
\(\Delta=\left(x-18\right)^2-4\left(x^2-18\right)\ge0\)
\(\Rightarrow-3x^2-36x+396\ge0\)
\(\Rightarrow\left(x+6\right)^2\le168\)
\(\Rightarrow-2\sqrt{42}-6\le x\le2\sqrt{42}-6\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=42\\b=6\end{cases}}\)
\(\Rightarrow a+b=42+6=48\)