VA
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
VA
0
TD
1
3 tháng 4 2023
Sửa đề: 1+a^2;1+b^2;1+c^2
\(\dfrac{a}{\sqrt{1+a^2}}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+ab+c+ac}}=\sqrt{\dfrac{a}{a+b}\cdot\dfrac{a}{a+c}}< =\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}\right)\)
\(\dfrac{b}{\sqrt{1+b^2}}< =\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{b}{b+a}\right)\)
\(\dfrac{c}{\sqrt{1+c^2}}< =\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{c}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)\)
=>\(A< =\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a+b}{a+b}+\dfrac{b+c}{b+c}+\dfrac{c+a}{c+a}\right)=\dfrac{3}{2}\)
KN
31 tháng 5 2020
Xét vế trái, ta có: \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{ab+bc+ca}{ab}+\frac{ab+bc+ca}{bc}+\frac{ab+bc+ca}{ca}\)(Do theo giả thiết thì ab + bc + bc = 1)
\(=\left(\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{a}{c}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{b}{c}\right)+3\)
Khi đó, ta quy BĐT cần chứng minh về: \(\left(\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{a}{c}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{b}{c}\right)\)\(\ge\sqrt{\frac{1}{a^2}+1}+\sqrt{\frac{1}{b^2}+1}+\sqrt{\frac{1}{c^2}+1}\)\(=\frac{\sqrt{a^2+1}}{a}+\frac{\sqrt{b^2+1}}{b}+\frac{\sqrt{c^2+1}}{c}\)
Theo BĐT Cauchy cho 2 số dương, ta có:
\(\frac{\sqrt{a^2+1}}{a}=\frac{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}{a}=\frac{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}{a}\)\(\le\frac{\frac{a+b+a+c}{2}}{a}=\frac{2a+b+c}{2a}\)(1)
Tương tự ta có: \(\frac{\sqrt{b^2+1}}{b}\le\frac{2b+c+a}{2b}\)(2); \(\frac{\sqrt{c^2+1}}{c}\le\frac{2c+a+b}{2c}\)(3)
Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được:
\(\frac{\sqrt{a^2+1}}{a}+\frac{\sqrt{b^2+1}}{b}+\frac{\sqrt{c^2+1}}{c}\)\(\le\frac{2a+b+c}{2a}+\frac{2b+c+a}{2b}+\frac{2c+a+b}{2c}\)
\(=3+\frac{1}{2}\left[\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right)\right]\)
Đến đây, ta cần chứng minh \(\left(\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{a}{c}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{b}{c}\right)\)\(\ge3+\frac{1}{2}\left[\left(\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{b}{c}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\right)\right]\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left[\left(\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{b}{c}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\right)\right]\ge3\)(Điều này hiển nhiên đúng vì theo BĐT Cauchy, ta có:
\(\frac{1}{2}\left[\left(\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{b}{c}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\right)\right]\)\(\ge\frac{1}{2}.6\sqrt[6]{\frac{a^2b^2c^2}{a^2b^2c^2}}=3\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 10 2021
Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{y}{x};\dfrac{z}{y};\dfrac{x}{z}\right)\)
\(\Rightarrow VT=\dfrac{1}{\dfrac{y}{x}\left(\dfrac{z}{y}+1\right)}+\dfrac{1}{\dfrac{z}{y}\left(\dfrac{x}{z}+1\right)}+\dfrac{1}{\dfrac{x}{z}\left(\dfrac{y}{x}+1\right)}\)
\(VT=\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}=\dfrac{x^2}{xy+xz}+\dfrac{y^2}{xy+yz}+\dfrac{z^2}{xz+yz}\)
\(VT\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}\ge\dfrac{3\left(xy+yz+zx\right)}{2\left(xy+yz+zx\right)}=\dfrac{3}{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 12 2020
\(VT=\dfrac{a\left(a+b+c\right)+bc}{b+c}+\dfrac{b\left(a+b+c\right)+ca}{c+a}+\dfrac{c\left(a+b+c\right)+ab}{a+b}\)
\(VT=\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{c+a}+\dfrac{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}{a+b}\)
Ta có:
\(\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{c+a}\ge2\left(a+b\right)\)
Tương tự: \(\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\dfrac{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}{a+b}\ge2\left(a+c\right)\)
\(\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{a+c}+\dfrac{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}{a+b}\ge2\left(b+c\right)\)
Cộng vế với vế:
\(\Rightarrow VT\ge2\left(a+b+c\right)=2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
HT
1
2 tháng 4 2020
Câu hỏi của vũ văn tùng - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Ta chứng minh:\(\sqrt{a+bc}\ge a+\sqrt{bc}\)
\(\Leftrightarrow a+bc\ge a^2+bc+2a\sqrt{bc}\)
\(\Leftrightarrow a\ge a^2+2a\sqrt{bc}\)\(\Leftrightarrow a\ge a\left(a+2\sqrt{bc}\right)\Leftrightarrow1\ge a+2\sqrt{bc}\Leftrightarrow a+b+c\ge a+2\sqrt{bc}\)
\(\Leftrightarrow b+c-2\sqrt{bc}\ge0\Leftrightarrow\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a+bc}\ge a+\sqrt{bc}\)
CMTT\(\sqrt{b+ca}\ge b+\sqrt{ca}\)
\(\sqrt{c+ab}\ge c+\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\ge a+b+c+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)Vậy ......
(Dấu = xảy ra (=) a=b=c=1/3