Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj
Đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\)thì \(x,y,z>0\)và ta cần chứng minh \(\frac{x}{\sqrt{3zx+yz}}+\frac{y}{\sqrt{3xy+zx}}+\frac{z}{\sqrt{3yz+xy}}\ge\frac{3}{2}\)\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{x\sqrt{3zx+yz}}+\frac{y^2}{y\sqrt{3xy+zx}}+\frac{z^2}{z\sqrt{3yz+xy}}\ge\frac{3}{2}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng phân thức, ta có: \(\frac{x^2}{x\sqrt{3zx+yz}}+\frac{y^2}{y\sqrt{3xy+zx}}+\frac{z^2}{z\sqrt{3yz+xy}}\ge\)\(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x\sqrt{3zx+yz}+y\sqrt{3xy+zx}+z\sqrt{3yz+xy}}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có: \(x\sqrt{3zx+yz}+y\sqrt{3xy+zx}+z\sqrt{3yz+xy}\)\(=\sqrt{x}.\sqrt{3zx^2+xyz}+\sqrt{y}.\sqrt{3xy^2+xyz}+\sqrt{y}.\sqrt{3yz^2+xyz}\)\(\le\sqrt{\left(x+y+z\right)\left[3\left(xy^2+yz^2+zx^2+xyz\right)\right]}\)
Ta cần chứng minh \(\sqrt{\left(x+y+z\right)\left[3\left(xy^2+yz^2+zx^2+xyz\right)\right]}\le\frac{2}{3}\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^4\ge\frac{9}{4}\left(x+y+z\right)\left[3\left(xy^2+yz^2+zx^2+xyz\right)\right]\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^3\ge\frac{27}{4}\left(xy^2+yz^2+zx^2+xyz\right)\)(*)
Không mất tính tổng quát, giả sử \(y=mid\left\{x,y,z\right\}\)thì khi đó \(\left(y-x\right)\left(y-z\right)\le0\Leftrightarrow y^2+zx\le xy+yz\)
\(\Leftrightarrow xy^2+zx^2\le x^2y+xyz\Leftrightarrow xy^2+yz^2+zx^2+xyz\le\)\(x^2y+yz^2+2xyz=y\left(z+x\right)^2=4y.\frac{z+x}{2}.\frac{z+x}{2}\)
\(\le\frac{4}{27}\left(y+\frac{z+x}{2}+\frac{z+x}{2}\right)^3=\frac{4\left(x+y+z\right)^3}{27}\)
Như vậy (*) đúng
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)+abc\)
\(=abc+a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+abc+abc\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)( phân tích nhân tử các kiểu )
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\left(1\right)\)
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc};ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\ge9abc\)
\(\Rightarrow-abc\ge\frac{-\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\)
Khi đó:\(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)
\(\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-\frac{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\)
\(=\frac{8\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) và ( 2 ) có đpcm
Do a + b + c = 1 nên \(\frac{\sqrt{\left(a+bc\right)\left(b+ca\right)}}{\sqrt{c+ab}}=\frac{\sqrt{\left[a\left(a+b+c\right)+bc\right]\left[b\left(a+b+c\right)+ca\right]}}{\sqrt{c\left(a+b+c\right)+ab}}\)
\(=\frac{\sqrt{\left(a^2+ab+ac+bc\right)\left(ab+b^2+bc+ac\right)}}{\sqrt{ac+bc+c^2+ab}}=\frac{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)
\(=\sqrt{\left(a+b\right)^2}=a+b\) (1)
Tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{\sqrt{\left(b+ca\right)\left(c+ab\right)}}{\sqrt{a+bc}}=b+c\text{ }\left(2\right)\\\frac{\sqrt{\left(c+ab\right)\left(a+bc\right)}}{\sqrt{b+ac}}=a+c\text{ }\left(3\right)\end{cases}}\)
Cộng vế với vế của (1)(2)(3) lại ta được :
\(\frac{\sqrt{\left(a+bc\right)\left(b+ca\right)}}{\sqrt{c+ab}}+\frac{\sqrt{\left(b+ca\right)\left(c+ab\right)}}{\sqrt{a+bc}}+\frac{\sqrt{\left(c+ab\right)\left(a+bc\right)}}{\sqrt{b+ac}}=2\left(a+b+c\right)=2\)
mình hướng dẫn thôi được không chứ mình đá bóng bị ngã nên giờ bấm giải chi tiết không nổi
thôi mình sẽ giải chi tiết luôn nhé chứ hướng dẫn khó hiểu lắm
ko cả biết BĐT AM-GM với C-S là gì còn hỏi bài này rảnh háng
Đề sai rồi. Nếu như là a, b, c dương thì giá trị nhỏ nhất của nó phải là 9 mới đúng. Còn để có GTNN như trên thì điều kiện là a, b, c không âm nhé. Mà bỏ đi e thi cái gì mà phải giải câu cỡ này. Cậu này mạnh lắm đấy không phải dạng thường đâu.
Đề bài của bạn bị ngược dấu. Phải là \(2\sqrt{ab+bc+ac}\leq \sqrt{3}\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}\)
Lời giải:
Lũy thừa 6, BĐT trên tương đương với \(2^6(ab+bc+ac)^3\leq 27[(a+b)(b+c)(c+a)]^2\) \((\star)\)
Thật vậy:
Áp dụng BĐT AM-GM: \((a+b+c)(ab+bc+ac)\geq 3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=9abc\)
Do đó: \((a+b)(b+c)(c+a)=ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)+2abc=(a+b+c)(ab+bc+ac)-abc\)
\(\geq (a+b+c)(ab+bc+ac)-\frac{(a+b+c)(ab+bc+ac)}{9}\)
\(\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)\geq \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ac)\)
Suy ra \([(a+b)(b+c)(c+a)]^2\geq \frac{64}{81}(a+b+c)^2(ab+bc+ac)^2\)
Mà theo hệ quả của BĐT AM-GM: \((a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)\Rightarrow [(a+b)(b+c)(c+a)]^2\geq \frac{64}{27}(ab+bc+ac)^3\)
hay \(64(ab+bc+ac)^3\leq 27[(a+b)(b+c)(c+a)]^2\)
BĐT \((\star)\) được chứng minh. Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\)
