Question

[Pham Trong Bach]

Cắt bỏ hình quạt tròn AOB từ một mảnh các tông hình tròn bán kính R rồi dán hai bán kính OA và OB của hình quạt tròn còn lại với nhau để được một cái phễu có dạng của một hình nón. Gọi x là góc ở tâm của quạt tròn dùng làm phễu 0 < x < 2 π . Tìm giá trị lớn nhất của thể tích hình nón.

A.  2 3 27 πR 3

B.  2 27 πR 3

C.  2 3 9 πR 3

D.  4 3 27 πR 3

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Thể tích cái phễu là  V = 1 3 πr 2 h

Ta có chu vi đáy là  2 πr = Rx

Suy ra

  r = R x 2 π h = R 2 - r 2 = R 2 - R 2 x 2 4 π 2 = R 2 π 4 π 2 - x 2

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số dương ta có:

V = 3 R 3 48 π 2 x 2 . 2 3 π 4 π 2 - x 2 ≤ 3 R 3 2 . 48 π 2 x 2 4 3 π 2 + 4 π 2 - x 2 = 3 R 3 2 . 48 π 2 x 2 16 3 π 2 - x 2 ≤ 1 8 3 R 3 48 π 2 . x 2 + 16 3 π 2 - x 2 2 = 1 8 3 R 3 48 π 2 . 16 2 9 π 4 = 2 3 27 πR 3

Dấu bằng có khi và chỉ khi 

2 3 π = 4 π 2 - x 2 x 2 = 16 3 π 2 - x 2 ⇔ x = 2 2 3 π

Vậy  2 3 27 πR 3  khi và chỉ khi x =  2 2 3 πR 3

Đáp án A