Với \(p=2\) không thỏa mãn, xét với \(p>2\):

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{p+1}{2}=m^2\\\dfrac{p^2+1}{2}=n^2\end{matrix}\right.\) với m; n là các số nguyên dương và \(n>m\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}p=2m^2-1\\p^2=2n^2-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow p^2-p=2n^2-2m^2\)

\(\Rightarrow p\left(p-1\right)=2\left(n-m\right)\left(n+m\right)\) (1)

Nếu \(p\le n\Rightarrow n^2+1\ge p^2+1=2n^2\Rightarrow n^2\le1\Rightarrow n=1\Rightarrow p=1\) (ktm)

\(\Rightarrow p>n>m\)

\(\Rightarrow n-m< p\) và \(n+m< 2p\) (2)

Từ (1) \(\Rightarrow2\left(n-m\right)\left(n+m\right)⋮p\), mà \(\left\{{}\begin{matrix}2⋮̸p\\n-m⋮̸p\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow n+m⋮p\) (3)

(2);(3) \(\Rightarrow n+m=p\)

Thay vào \(p^2+1=2n^2=2\left(p-m\right)^2\)

\(\Rightarrow p^2-4mp+2m^2-1=0\)

\(\Rightarrow p^2-4mp+p=0\) (do \(2m^2-1=p\))

\(\Rightarrow p-4m+1=0\)

\(\Rightarrow2m^2-4m=0\) (do \(p+1=2m^2\))

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\left(loại\right)\\m=2\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow p=2m^2-1=7\)

\(\Rightarrow p^2-1=49-1=48⋮48\)

Đề bài sai, \(p^2+1\) không chia hết cho 3 với mọi p

\(\Rightarrow p^2+1\) không thể chia hết 48 với mọi p

Chiều rộng: x (m)  (x>0)

=> Chiều dài: 3x (m)

=> Diện tích ban đầu: x. 3x= 3x² (m²)

Tăng chiều dài và chiều rộng mỗi bên 5m, diện tích mới là: (x+5). (3x+5)= 3x²+20x+25 (m²)

Diện tích mới tăng 385m² so với diện tích ban đầu:

=> 3x²+20x+25 - 385 = 3x²

<=> 20x= 360

<=>x=18 (TM)

Vậy: Miếng đất HCN có chiều rộng 18m và chiều dài 54m

a.

\(\dfrac{x-ab}{a+b}+\dfrac{x-bc}{b+c}+\dfrac{x-ca}{c+a}>a+b+c\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x-ab}{a+b}-c+\dfrac{x-bc}{b+c}-a+\dfrac{x-ac}{a+c}-b>0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x-ab-ac-bc}{a+b}+\dfrac{x-ab-ac-bc}{b+c}+\dfrac{c-ab-ac-bc}{a+c}>0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-ab-ac-bc\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)>0\)

\(\Leftrightarrow x-ab-ac-bc>0\)

\(\Rightarrow x>ab+ac+bc\)

b.

\(\dfrac{a+b-x}{c}+\dfrac{a+c-x}{b}+\dfrac{b+c-x}{a}< \dfrac{-3x}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b-x}{c}+1+\dfrac{a+c-x}{b}+1+\dfrac{b+c-x}{a}+1< \dfrac{-3x}{a+b+c}+3\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b+c-x}{c}+\dfrac{a+b+c-x}{b}+\dfrac{a+b+c-x}{a}< \dfrac{3\left(a+b+c-x\right)}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c-x\right)\left(\dfrac{3}{a+b+c}-\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}\right)>0\) (1)

Do \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\Rightarrow\dfrac{3}{a+b+c}-\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}< 0\)

Do đó (1) \(\Leftrightarrow a+b+c-x< 0\)

\(\Rightarrow x>a+b+c\)

8a.

BPT $\Leftrightarrow (\frac{x-ab}{a+b}-c)+(\frac{x-ac}{a+c}-b)+(\frac{x-bc}{b+c}-a)>0$

$\Leftrightarrow \frac{x-(ab+bc+ac)}{a+b}+\frac{x-(ab+bc+ac)}{a+c}+\frac{x-(ab+bc+ac)}{b+c}>0$

$\Leftrightarrow [x-(ab+bc+ac)](\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c})>0$
$\Leftrightarrow x-(ab+bc+ac)>0$ (do $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}>0$ với $a,b,c$ dương)

$\Leftrightarrow x> ab+bc+ac$

7a. 

BPT $\Leftrightarrow \frac{x+1987}{2002}-1+\frac{x+1988}{2003}-1> \frac{x+1989}{2004}-1+\frac{x+1990}{2005}-1$
$\Leftrightarrow \frac{x-15}{2002}+\frac{x-15}{2003}> \frac{x-15}{2004}+\frac{x-15}{2005}$

$\Leftrightarrow (x-15)(\frac{1}{2002}+\frac{1}{2003}-\frac{1}{2004}-\frac{1}{2005})>0$

Dễ thấy: $\frac{1}{2002}+\frac{1}{2003}-\frac{1}{2004}-\frac{1}{2005}> 0$

Do đó BPT $\Leftrightarrow x-15>0$

$\Leftrightarrow x>15$

7b. 

BPT $\Leftrightarrow (\frac{x-1}{99}-1)+(\frac{x-3}{97}-1)+(\frac{x-5}{95}-1)< (\frac{x-2}{98}-1)+(\frac{x-4}{96}-1)+(\frac{x-6}{94}-1)$

$\Leftrightarrow \frac{x-100}{99}+\frac{x-100}{97}+\frac{x-100}{95}< \frac{x-100}{98}+\frac{x-100}{96}+\frac{x-100}{94}$

$\Leftrightarrow (x-100)(\frac{1}{99}+\frac{1}{97}+\frac{1}{95}-\frac{1}{98}-\frac{1}{96}-\frac{1}{94})<0$

Dễ thấy $\frac{1}{99}+\frac{1}{97}+\frac{1}{95}-\frac{1}{98}-\frac{1}{96}-\frac{1}{94}<0$

Do đó BPT $\Leftrightarrow x-100>0$
$\Leftrightarrow x> 100$